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Theorem dchrisum0re 20662
Description: Suppose  X is a non-principal Dirichlet character with  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n  =  0. Then  X is a real character. Part of Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum2.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum2.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum2.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
rpvmasum2.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
dchrisum0.b  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
Assertion
Ref Expression
dchrisum0re  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    m, N, y    ph, m    m, Z, y    D, m, y    m, L, y   
m, X, y
Allowed substitution hints:    ph( y)    G( y, m)    W( y, m)

Proof of Theorem dchrisum0re
Dummy variables  k  n  x  f  c 
t  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum2.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 rpvmasum2.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 rpvmasum2.w . . . . . . 7  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
6 ssrab2 3258 . . . . . . 7  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  C_  ( D  \  {  .1.  } )
75, 6eqsstri 3208 . . . . . 6  |-  W  C_  ( D  \  {  .1.  } )
8 dchrisum0.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  W )
97, 8sseldi 3178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
10 eldifi 3298 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  e.  D )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11dchrf 20481 . . 3  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
13 ffn 5389 . . 3  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
15 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  x
)  e.  CC )
1612, 15sylan 457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
17 fvco3 5596 . . . . . 6  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  x  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( *  o.  X ) `  x
)  =  ( * `
 ( X `  x ) ) )
1812, 17sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
*  o.  X ) `
 x )  =  ( * `  ( X `  x )
) )
19 logno1 19983 . . . . . . . 8  |-  -.  (
x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 )
20 1re 8837 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
2120a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  1  e.  RR )
22 rpvmasum.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
23 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
24 rpvmasum2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
2623nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
272zncrng 16498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
2826, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
29 crngrng 15351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
3225, 311unit 15440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  (Unit `  Z )
)
3330, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  (Unit `  Z ) )
34 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } )  =  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } )
35 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  W )  ->  ( 1r `  Z )  =  ( 1r `  Z
) )
362, 22, 23, 1, 3, 24, 5, 25, 33, 34, 35rpvmasum2 20661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3736adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
3823phicld 12840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN )
3938nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  NN0 )
4039adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( phi `  N )  e.  NN0 )
4140nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( phi `  N )  e.  RR )
42 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
43 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
44 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  e.  Fin )
4542, 43, 44sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  e.  Fin )
4643sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
47 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
4847adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4946, 48sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  n  e.  NN )
50 vmacl 20356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
51 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5250, 51mpancom 650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5349, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
5445, 53fsumrecl 12207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
5541, 54remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )
56 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( log `  x )  e.  RR )
5756adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( log `  x )  e.  RR )
581, 3dchrfi 20494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e.  NN  ->  D  e.  Fin )
5923, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
60 difss 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D 
\  {  .1.  }
)  C_  D
617, 60sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  W  C_  D
62 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  W  C_  D )  ->  W  e.  Fin )
6359, 61, 62sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  W  e.  Fin )
64 hashcl 11350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( # `
 W )  e. 
NN0 )
6563, 64syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  NN0 )
6665nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( # `  W
)  e.  RR )
67 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
6820, 66, 67sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
6968adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  ( # `  W
) )  e.  RR )
7057, 69remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `
 W ) ) )  e.  RR )
7155, 70resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
7271recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  CC )
7372adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  CC )
7456adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
7574recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
7656ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  RR )
7770ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) )  e.  RR )
7876, 77readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
79 0re 8838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  RR
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  e.  RR )
8155ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )
82 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  RR
8382a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  e.  RR )
8466ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  W )  e.  RR )
8583, 84resubcld 9211 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
86 log1 19939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( log `  1 )  =  0
87 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  <_  x )
88 1rp 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR+
89 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
90 logleb 19957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x ) ) )
9188, 89, 90sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  <_  x  <->  ( log `  1 )  <_  ( log `  x
) ) )
9287, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  1
)  <_  ( log `  x ) )
9386, 92syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( log `  x ) )
94 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( *  o.  X
)  =/=  X )
95 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( inv g `  G )  =  ( inv g `  G )
961, 3, 11, 95dchrinv 20500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  =  ( *  o.  X ) )
971dchrabl 20493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e.  NN  ->  G  e.  Abel )
9823, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
99 ablgrp 15094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
10098, 99syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
1013, 95grpinvcl 14527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  D )  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  D )
102100, 11, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  e.  D )
10396, 102eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  D )
104 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  ->  X  =/=  .1.  )
1059, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
1063, 24grpidcl 14510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( G  e.  Grp  ->  .1.  e.  D )
107100, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
1083, 95, 100, 11, 107grpinv11 14537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  =  ( ( inv g `  G ) `  .1.  ) 
<->  X  =  .1.  )
)
109108necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  G ) `
 X )  =/=  ( ( inv g `  G ) `  .1.  ) 
<->  X  =/=  .1.  )
)
110105, 109mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  X
)  =/=  ( ( inv g `  G
) `  .1.  )
)
11124, 95grpinvid 14533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( G  e.  Grp  ->  (
( inv g `  G ) `  .1.  )  =  .1.  )
112100, 111syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  G ) `  .1.  )  =  .1.  )
113110, 96, 1123netr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  =/=  .1.  )
114 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( *  o.  X )  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( (
*  o.  X )  e.  D  /\  (
*  o.  X )  =/=  .1.  ) )
115103, 113, 114sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
116 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
117 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  1  e.  ZZ
118117a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
119 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( n  =  m  ->  ( L `  n )  =  ( L `  m ) )
120119fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  m  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
121 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( n  =  m  ->  n  =  m )
122120, 121oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  m  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
123122fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
* `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( * `  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )
124 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  e.  NN  |->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) )
125 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e. 
_V
126123, 124, 125fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) `  m
)  =  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
127126adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )
128 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
129128adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  RR )
130129cjred 11711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 m )  =  m )
131130oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( * `  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( * `  m ) )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `
 m ) ) )  /  m ) )
13212adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X :
( Base `  Z ) --> CC )
1332, 4, 22znzrhfo 16501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN0  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z
) )
13426, 133syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  L : ZZ -onto-> ( Base `  Z ) )
135 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( L : ZZ -onto-> ( Base `  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z
) )
136134, 135syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
137 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
138 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( L : ZZ --> ( Base `  Z )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )
139136, 137, 138syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( L `
 m )  e.  ( Base `  Z
) )
140 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  ( X `  ( L `  m ) )  e.  CC )
141132, 139, 140syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
142 nncn 9754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
144 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
145144adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
146141, 143, 145cjdivd 11708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `
 m ) ) )  /  ( * `
 m ) ) )
147 fvco3 5596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( L `  m )  e.  ( Base `  Z
) )  ->  (
( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  =  ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) ) )
148132, 139, 147syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  =  ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) ) )
149148oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m )  =  ( ( * `  ( X `  ( L `  m ) ) )  /  m ) )
150131, 146, 1493eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m ) )  /  m ) )
151127, 150eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
152141cjcld 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( X `  ( L `  m ) ) )  e.  CC )
153152, 143, 145divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( * `  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  m )  e.  CC )
154149, 153eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
155 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) )
1562, 22, 23, 1, 3, 24, 11, 105, 155dchrmusumlema 20642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) )
157 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t )
1588adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  W )
15923adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  N  e.  NN )
16011adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  e.  D )
161105adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  X  =/=  .1.  )
162 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
163 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  ( |_
`  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )
1642, 22, 159, 1, 3, 24, 160, 161, 155, 162, 157, 163, 5dchrvmaeq0 20653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  ( X  e.  W  <->  t  =  0 ) )
165158, 164mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  t  = 
0 )
166157, 165breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) ) ) )  ->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  0 )
167166expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
168167rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
169168exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  / 
y ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) )  ~~>  0 ) )
170156, 169mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) )  ~~>  0 )
171 seqex 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  seq  1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n ) ) ) )  e.  _V
172171a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  e. 
_V )
173 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
174173fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
175 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
176174, 175oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
177 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
178176, 155, 177fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
179178adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
180141, 143, 145divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
181179, 180eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) `  m )  e.  CC )
182116, 118, 181serf 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) : NN --> CC )
183 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) ) ) `  k )  e.  CC )
184182, 183sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) ) `  k
)  e.  CC )
185 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
186 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
187 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ( 1 ... k )  ->  m  e.  NN )
188186, 187, 180syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  e.  CC )
189185, 188fsumcj 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( * `
 sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) )
190186, 187, 179syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
191 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
192191, 116syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
193190, 192, 188fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  / 
a ) ) ) `
 k ) )
194193fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( * `
 sum_ m  e.  ( 1 ... k ) ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( * `
 (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  /  a ) ) ) `  k
) ) )
195186, 187, 127syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) `  m
)  =  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
196180cjcld 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( * `
 ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
197186, 187, 196syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  m  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
* `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
198195, 192, 197fsumser 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... k
) ( * `  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )  =  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) ) `  k ) )
199189, 194, 1983eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  ( * `  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n ) ) ) ) `  k )  =  ( * `  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) ) ) `  k
) ) )
200116, 170, 172, 118, 184, 199climcj 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  ~~>  ( * `
 0 ) )
201 cj0 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( * `
 0 )  =  0
202200, 201syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  ( * `  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) ) ) )  ~~>  0 )
203116, 118, 151, 154, 202isumclim 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 )
204 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( ( *  o.  X ) `  ( L `  m )
) )
205204oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
206205sumeq2sdv 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X
) `  ( L `  m ) )  /  m ) )
207206eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  ( *  o.  X )  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( ( *  o.  X ) `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
208207, 5elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( *  o.  X )  e.  W  <->  ( (
*  o.  X )  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_
m  e.  NN  (
( ( *  o.  X ) `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
209115, 203, 208sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  e.  W )
210209ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( *  o.  X
)  e.  W )
2118ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  X  e.  W )
212 hashprg 11368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( *  o.  X
)  e.  W  /\  X  e.  W )  ->  ( ( *  o.  X )  =/=  X  <->  (
# `  { (
*  o.  X ) ,  X } )  =  2 ) )
213210, 211, 212syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( *  o.  X )  =/=  X  <->  (
# `  { (
*  o.  X ) ,  X } )  =  2 ) )
21494, 213mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  { ( *  o.  X ) ,  X } )  =  2 )
21563ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  W  e.  Fin )
216 prssi 3771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( *  o.  X
)  e.  W  /\  X  e.  W )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W )
217210, 211, 216syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W )
218 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( W  e.  Fin  ->  ( { ( *  o.  X ) ,  X }  C_  W  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  ~<_  W ) )
219215, 217, 218sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  { ( *  o.  X ) ,  X }  ~<_  W )
220 hashdomi 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( { ( *  o.  X
) ,  X }  ~<_  W  ->  ( # `  {
( *  o.  X
) ,  X }
)  <_  ( # `  W
) )
221219, 220syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  { ( *  o.  X ) ,  X } )  <_  ( # `  W
) )
222214, 221eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
2  <_  ( # `  W
) )
223 suble0 9288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( # `  W )  e.  RR )  -> 
( ( 2  -  ( # `  W
) )  <_  0  <->  2  <_  ( # `  W
) ) )
22482, 84, 223sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 2  -  ( # `  W
) )  <_  0  <->  2  <_  ( # `  W
) ) )
225222, 224mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  <_  0 )
22685, 80, 76, 93, 225lemul2ad 9697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  <_ 
( ( log `  x
)  x.  0 ) )
227 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  =  ( 1  +  1 )
228227oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2  -  ( # `  W
) )  =  ( ( 1  +  1 )  -  ( # `  W ) )
229 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
230229a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
1  e.  CC )
23184recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( # `  W )  e.  CC )
232230, 230, 231addsubassd 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( 1  +  1 )  -  ( # `
 W ) )  =  ( 1  +  ( 1  -  ( # `
 W ) ) ) )
233228, 232syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 2  -  ( # `
 W ) )  =  ( 1  +  ( 1  -  ( # `
 W ) ) ) )
234233oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  =  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  +  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
23575adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  e.  CC )
23668ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  RR )
237236recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( 1  -  ( # `
 W ) )  e.  CC )
238235, 230, 237adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 1  +  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  =  ( ( ( log `  x )  x.  1 )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
239235mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  1 )  =  ( log `  x
) )
240239oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  x.  1 )  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  =  ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
241234, 238, 2403eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  ( 2  -  ( # `  W
) ) )  =  ( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
242235mul01d 9011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  x.  0 )  =  0 )
243226, 241, 2423brtr3d 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  0 )
24438nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( phi `  N
)  e.  RR )
245244ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( phi `  N
)  e.  RR )
24654ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n )  e.  RR )
24739ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( phi `  N
)  e.  NN0 )
248247nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( phi `  N ) )
24949, 50syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
250 vmage0 20359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  ->  0  <_  (Λ `  n )
)
25149, 250syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <_  (Λ `  n ) )
25249nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  n  e.  RR )
25349nngt0d 9789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <  n
)
254 divge0 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (Λ `  n
)  e.  RR  /\  0  <_  (Λ `  n )
)  /\  ( n  e.  RR  /\  0  < 
n ) )  -> 
0  <_  ( (Λ `  n )  /  n
) )
255249, 251, 252, 253, 254syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR+ )  /\  n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) )  ->  0  <_  (
(Λ `  n )  /  n ) )
25645, 53, 255fsumge0 12253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR+ )  ->  0  <_  sum_
n  e.  ( ( 1 ... ( |_
`  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )
257256ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )
258245, 246, 248, 257mulge0d 9349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
25978, 80, 81, 243, 258letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( log `  x
)  +  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
260 leaddsub 9250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( log `  x
)  e.  RR  /\  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) )  e.  RR  /\  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x )  x.  (
1  -  ( # `  W ) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x. 
sum_ n  e.  (
( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  <->  ( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
26176, 77, 81, 260syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( log `  x )  +  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  <_  ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  <->  ( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
262259, 261mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( log `  x
)  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
26376, 93absidd 11905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( log `  x ) )  =  ( log `  x
) )
26471ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( ( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) )  e.  RR )
26580, 76, 264, 93, 262letrd 8973 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
0  <_  ( (
( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
266264, 265absidd 11905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  (
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )  =  ( ( ( phi `  N
)  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x
) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n )  /  n ) )  -  ( ( log `  x
)  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) )
267262, 263, 2663brtr4d 4053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
*  o.  X )  =/=  X )  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( log `  x ) )  <_  ( abs `  (
( ( phi `  N )  x.  sum_ n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  i^i  ( `' L " { ( 1r `  Z ) } ) ) ( (Λ `  n
)  /  n ) )  -  ( ( log `  x )  x.  ( 1  -  ( # `  W
) ) ) ) ) )
26821, 37, 73, 75, 267o1le 12126 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( *  o.  X )  =/=  X
)  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x
) )  e.  O
( 1 ) )
269268ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( *  o.  X )  =/=  X  ->  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 ) ) )
270269necon1bd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -.  ( x  e.  RR+  |->  ( log `  x ) )  e.  O ( 1 )  ->  ( *  o.  X )  =  X ) )
27119, 270mpi 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( *  o.  X
)  =  X )
272271adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( *  o.  X )  =  X )
273272fveq1d 5527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
*  o.  X ) `
 x )  =  ( X `  x
) )
27418, 273eqtr3d 2317 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( * `  ( X `  x
) )  =  ( X `  x ) )
27516, 274cjrebd 11687 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  RR )
276275ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( X `  x
)  e.  RR )
277 ffnfv 5685 . 2  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> RR  <->  ( X  Fn  ( Base `  Z
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( X `  x )  e.  RR ) )
27814, 276, 277sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   {csn 3640   {cpr 3641   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   `'ccnv 4688   "cima 4692    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   #chash 11337   *ccj 11581   abscabs 11719    ~~> cli 11958   O (
1 )co1 11960   sum_csu 12158   phicphi 12832   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   inv gcminusg 14363   Abelcabel 15090   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Unitcui 15421   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454   logclog 19912  Λcvma 20329  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrisum0  20669
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-dprd 15233  df-dpj 15234  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338  df-dchr 20472
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