Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlem1 Unicode version

Theorem dchrisumlem1 20654
 Description: Lemma for dchrisum 20657. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
dchrisum.9
dchrisum.10 ..^ ..^
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem1 ..^
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,   ,,   ,,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem dchrisumlem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzodisj 10916 . . . . . 6 ..^ ..^
21a1i 10 . . . . 5 ..^ ..^
3 rpvmasum.a . . . . . . . . . 10
43nnnn0d 10034 . . . . . . . . 9
54adantr 451 . . . . . . . 8
6 nn0re 9990 . . . . . . . . . . 11
76adantl 452 . . . . . . . . . 10
83adantr 451 . . . . . . . . . 10
97, 8nndivred 9810 . . . . . . . . 9
108nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10
11 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . 11
1211adantl 452 . . . . . . . . . 10
137, 10, 12divge0d 10442 . . . . . . . . 9
14 flge0nn0 10964 . . . . . . . . 9
159, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . 8
165, 15nn0mulcld 10039 . . . . . . 7
17 flle 10947 . . . . . . . . 9
189, 17syl 15 . . . . . . . 8
19 reflcl 10944 . . . . . . . . . 10
209, 19syl 15 . . . . . . . . 9
2120, 7, 10lemuldiv2d 10452 . . . . . . . 8
2218, 21mpbird 223 . . . . . . 7
23 fznn0 10867 . . . . . . . 8
2423adantl 452 . . . . . . 7
2516, 22, 24mpbir2and 888 . . . . . 6
26 fzosplit 10915 . . . . . 6 ..^ ..^ ..^
2725, 26syl 15 . . . . 5 ..^ ..^ ..^
28 fzofi 11052 . . . . . 6 ..^
2928a1i 10 . . . . 5 ..^
30 rpvmasum.g . . . . . 6 DChr
31 rpvmasum.z . . . . . 6 ℤ/n
32 rpvmasum.d . . . . . 6
33 rpvmasum.l . . . . . 6 RHom
34 dchrisum.b . . . . . . 7
3534ad2antrr 706 . . . . . 6 ..^
36 elfzoelz 10891 . . . . . . 7 ..^
3736adantl 452 . . . . . 6 ..^
3830, 31, 32, 33, 35, 37dchrzrhcl 20500 . . . . 5 ..^
392, 27, 29, 38fsumsplit 12228 . . . 4 ..^ ..^ ..^
40 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4241sumeq1d 12190 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4342eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4443imbi2d 307 . . . . . . . 8 ..^ ..^
45 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
4645oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
4746sumeq1d 12190 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
4847eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
4948imbi2d 307 . . . . . . . 8 ..^ ..^
50 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
5150oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
5251sumeq1d 12190 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
5352eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
5453imbi2d 307 . . . . . . . 8 ..^ ..^
55 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
5756sumeq1d 12190 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
5857eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
5958imbi2d 307 . . . . . . . 8 ..^ ..^
603nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . 13
6160mul01d 9027 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
63 fzo0 10909 . . . . . . . . . . 11 ..^
6462, 63syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10 ..^
6564sumeq1d 12190 . . . . . . . . 9 ..^
66 sum0 12210 . . . . . . . . 9
6765, 66syl6eq 2344 . . . . . . . 8 ..^
68 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
69 fzodisj 10916 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
71 nn0re 9990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7372lep1d 9704 . . . . . . . . . . . . . . . 16
74 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7572, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
763adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7776nnred 9777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7876nngt0d 9805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
79 lemul2 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8072, 75, 77, 78, 79syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8173, 80mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 nn0mulcl 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
834, 82sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
84 nn0uz 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8583, 84syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . . . . 16
86 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
87 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
883, 86, 87syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8988nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . 16
90 elfz5 10806 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9185, 89, 90syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15
9281, 91mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14
93 fzosplit 10915 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^ ..^ ..^
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^ ..^
95 fzofi 11052 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
9695a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
9734ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
98 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
9998adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
10030, 31, 32, 33, 97, 99dchrzrhcl 20500 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
10170, 94, 96, 100fsumsplit 12228 . . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^ ..^
10276nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10372recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106102, 103, 105adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107102mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108107oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
109106, 108eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
111110sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
11276nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11383nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
114113adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
117113, 115, 116syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
118 peano2zm 10078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119117, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
12034ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
121 elfzelz 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122121adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12330, 31, 32, 33, 120, 122dchrzrhcl 20500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
124 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
125124fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126114, 114, 119, 123, 125fsumshftm 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127 fzoval 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
128117, 127syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
129128sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
130115adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
131 fzoval 10892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
132130, 131syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
133114zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
134133subidd 9161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
135117zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
136104a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
137135, 136, 133sub32d 9205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
138 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
139138adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
140133, 139pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
141140oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
142137, 141eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143134, 142oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
144132, 143eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
145144sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
146126, 129, 1453eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
1473nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
148 nn0z 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
149 dvdsmul1 12566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
150147, 148, 149syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
151150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
152 elfzoelz 10891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ..^
153152adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ..^
154153zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
155133adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ..^
156154, 155pncan2d 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
157151, 156breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
158112ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
159 zaddcl 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
160152, 114, 159syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ..^
16131, 33zndvds 16519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
162158, 160, 153, 161syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ..^
163157, 162mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ..^
164163fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^
165164sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
166 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
167166fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
168167cbvsumv 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
169165, 168syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
170146, 169eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
171170ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
172 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
173172oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
174173sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
175 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
176175sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
177174, 176eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^ ..^ ..^
178177rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^ ..^ ..^
179112, 171, 178sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
180 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1813nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
182 ifnefalse 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
183181, 182syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
184 fzofi 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^
185183, 184syl6eqel 2384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^
186 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 flds flds
187 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
18833reseq1i 4967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ RHom ..^
189 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ..^ ..^
190186, 31, 187, 188, 189znf1o 16521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
1914, 190syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
192 fvres 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ..^ ..^
193192adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ..^ ..^
19430, 31, 32, 187, 34dchrf 20497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
195 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
196194, 195sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197180, 185, 191, 193, 196fsumf1o 12212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
198 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
19930, 31, 32, 198, 34, 187dchrsum 20524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
200 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201 ifnefalse 3586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202200, 201syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203199, 202eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
204183sumeq1d 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
205197, 203, 2043eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
206205adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
207111, 179, 2063eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
208207oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
209 00id 9003 . . . . . . . . . . . . 13
210208, 209syl6req 2345 . . . . . . . . . . . 12 ..^
211101, 210eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^ ..^
21268, 211syl5ibr 212 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
213212expcom 424 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
214213a2d 23 . . . . . . . 8 ..^ ..^
21544, 49, 54, 59, 67, 214nn0ind 10124 . . . . . . 7 ..^
216215impcom 419 . . . . . 6 ..^
21715, 216syldan 456 . . . . 5 ..^
218 modval 10991 . . . . . . . . . . 11
2197, 10, 218syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
220219oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
22116nn0cnd 10036 . . . . . . . . . 10
222 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . 11
223222adantl 452 . . . . . . . . . 10
224221, 223pncan3d 9176 . . . . . . . . 9
225220, 224eqtr2d 2329 . . . . . . . 8
226225oveq2d 5890 . . . . . . 7 ..^ ..^
227226sumeq1d 12190 . . . . . 6 ..^ ..^
228 nn0z 10062 . . . . . . . 8
229 zmodcl 11005 . . . . . . . 8
230228, 3, 229syl2anr 464 . . . . . . 7
231171ralrimiva 2639 . . . . . . . 8 ..^ ..^
232231adantr 451 . . . . . . 7 ..^ ..^
233 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
234233oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
235233, 234oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
236235sumeq1d 12190 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
237236eqeq1d 2304 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
238 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11
239238oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
240239sumeq1d 12190 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
241 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10 ..^ ..^
242241sumeq1d 12190 . . . . . . . . 9 ..^ ..^
243240, 242eqeq12d 2310 . . . . . . . 8 ..^ ..^ ..^ ..^
244237, 243rspc2va 2904 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
24515, 230, 232, 244syl21anc 1181 . . . . . 6 ..^ ..^
246227, 245eqtrd 2328 . . . . 5 ..^ ..^
247217, 246oveq12d 5892 . . . 4 ..^ ..^ ..^
248 fzofi 11052 . . . . . . 7 ..^
249248a1i 10 . . . . . 6 ..^
25034ad2antrr 706 . . . . . . 7 ..^
251 elfzoelz 10891 . . . . . . . 8 ..^
252251adantl 452 . . . . . . 7 ..^
25330, 31, 32, 33, 250, 252dchrzrhcl 20500 . . . . . 6 ..^
254249, 253fsumcl 12222 . . . . 5 ..^
255254addid2d 9029 . . . 4 ..^ ..^
25639, 247, 2553eqtrd 2332 . . 3 ..^ ..^
257256fveq2d 5545 . 2 ..^ ..^
258 zmodfzo 11008 . . . 4 ..^
259228, 3, 258syl2anr 464 . . 3 ..^
260 dchrisum.10 . . . 4 ..^ ..^
261260adantr 451 . . 3 ..^ ..^
262 oveq2 5882 . . . . . . 7 ..^ ..^
263262sumeq1d 12190 . . . . . 6 ..^ ..^
264263fveq2d 5545 . . . . 5 ..^ ..^
265264breq1d 4049 . . . 4 ..^ ..^
266265rspcv 2893 . . 3 ..^ ..^ ..^ ..^
267259, 261, 266sylc 56 . 2 ..^
268257, 267eqbrtrd 4059 1 ..^
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556   cun 3163   cin 3164  c0 3468  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cres 4707  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cuz 10246  crp 10370  cfz 10798  ..^cfzo 10886  cfl 10940   cmo 10989  cabs 11735   crli 11975  csu 12174   cdivides 12547  cphi 12848  cbs 13164   ↾s cress 13165  c0g 13416  ℂfldccnfld 16393  RHomczrh 16467  ℤ/nℤczn 16470  DChrcdchr 20487 This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  20655 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-phi 12850  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dchr 20488
 Copyright terms: Public domain W3C validator