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Theorem dchrisumlem3 21177
 Description: Lemma for dchrisum 21178. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
dchrisum.9
dchrisum.10 ..^ ..^
Assertion
Ref Expression
dchrisumlem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,   ,, ,   ,,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,,   ,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   ()   ()   ()   (,,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrisumlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10513 . . . 4
2 1z 10303 . . . . . . 7
32a1i 11 . . . . . 6
4 simpr 448 . . . . . . . 8
5 rpvmasum.g . . . . . . . . . 10 DChr
6 rpvmasum.z . . . . . . . . . 10 ℤ/n
7 rpvmasum.d . . . . . . . . . 10
8 rpvmasum.l . . . . . . . . . 10 RHom
9 dchrisum.b . . . . . . . . . . 11
109adantr 452 . . . . . . . . . 10
114nnzd 10366 . . . . . . . . . 10
125, 6, 7, 8, 10, 11dchrzrhcl 21021 . . . . . . . . 9
13 dchrisum.4 . . . . . . . . . . . 12
1413ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11
15 nnrp 10613 . . . . . . . . . . 11
16 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14
1716nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . 13
18 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14
1918eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13
2017, 19rspc 3038 . . . . . . . . . . . 12
2120impcom 420 . . . . . . . . . . 11
2214, 15, 21syl2an 464 . . . . . . . . . 10
2322recnd 9106 . . . . . . . . 9
2412, 23mulcld 9100 . . . . . . . 8
25 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
26 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10
27 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10
2826, 27, 16nfov 6096 . . . . . . . . 9
29 fveq2 5720 . . . . . . . . . . 11
3029fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10
3130, 18oveq12d 6091 . . . . . . . . 9
32 dchrisum.7 . . . . . . . . 9
3325, 28, 31, 32fvmptf 5813 . . . . . . . 8
344, 24, 33syl2anc 643 . . . . . . 7
3534, 24eqeltrd 2509 . . . . . 6
361, 3, 35serf 11343 . . . . 5
3736ffvelrnda 5862 . . . 4
3813recnd 9106 . . . . . . . . 9
3938ralrimiva 2781 . . . . . . . 8
4039adantr 452 . . . . . . 7
41 id 20 . . . . . . . 8
42 2re 10061 . . . . . . . . . 10
43 dchrisum.9 . . . . . . . . . 10
44 remulcl 9067 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44sylancr 645 . . . . . . . . 9
46 rpvmasum.a . . . . . . . . . . . 12
47 lbfzo0 11162 . . . . . . . . . . . 12 ..^
4846, 47sylibr 204 . . . . . . . . . . 11 ..^
49 dchrisum.10 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^
50 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
51 fzo0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^
5250, 51syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
5352sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
54 sum0 12507 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
5655abs00bd 12088 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5756breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5857rspcv 3040 . . . . . . . . . . 11 ..^ ..^ ..^
5948, 49, 58sylc 58 . . . . . . . . . 10
60 2nn0 10230 . . . . . . . . . . . 12
6160nn0ge0i 10241 . . . . . . . . . . 11
62 mulge0 9537 . . . . . . . . . . 11
6342, 61, 62mpanl12 664 . . . . . . . . . 10
6443, 59, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9
6545, 64ge0p1rpd 10666 . . . . . . . 8
66 rpdivcl 10626 . . . . . . . 8
6741, 65, 66syl2anr 465 . . . . . . 7
68 dchrisum.6 . . . . . . . 8
6968adantr 452 . . . . . . 7
7040, 67, 69rlimi 12299 . . . . . 6
71 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12
72 dchrisum.3 . . . . . . . . . . . . . 14
7372nnred 10007 . . . . . . . . . . . . 13
7473adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
75 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . 12
7671, 74, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
77 0re 9083 . . . . . . . . . . . . 13
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7972nngt0d 10035 . . . . . . . . . . . . 13
8079adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
81 max1 10765 . . . . . . . . . . . . 13
8273, 81sylan 458 . . . . . . . . . . . 12
8378, 74, 76, 80, 82ltletrd 9222 . . . . . . . . . . 11
8476, 83elrpd 10638 . . . . . . . . . 10
8584adantlr 696 . . . . . . . . 9
86 nfv 1629 . . . . . . . . . . 11
87 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13
88 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . . . . . . 14
89 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14
90 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14
9188, 89, 90nfov 6096 . . . . . . . . . . . . 13
9287, 91nffv 5727 . . . . . . . . . . . 12
93 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12
94 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . 12
9592, 93, 94nfbr 4248 . . . . . . . . . . 11
9686, 95nfim 1832 . . . . . . . . . 10
97 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11
98 csbeq1a 3251 . . . . . . . . . . . . . 14
9998oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13
10099fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . 12
101100breq1d 4214 . . . . . . . . . . 11
10297, 101imbi12d 312 . . . . . . . . . 10
10396, 102rspc 3038 . . . . . . . . 9
10485, 103syl 16 . . . . . . . 8
10573ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10
106 max2 10767 . . . . . . . . . 10
107105, 106sylancom 649 . . . . . . . . 9
10814ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10988nfel1 2581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11098eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
111109, 110rspc 3038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11285, 108, 111sylc 58 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
113112recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . . . 16
114113subid1d 9392 . . . . . . . . . . . . . . 15
115114fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
11676adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117105, 81sylancom 649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 elicopnf 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119105, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120116, 117, 119mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12146ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
122 rpvmasum.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1239ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124 dchrisum.n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
125124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
126 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12772ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128108r19.21bi 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129 simpll 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
130 dchrisum.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131129, 130syl3an1 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13268ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1336, 8, 121, 5, 7, 122, 123, 125, 126, 127, 128, 131, 132, 32dchrisumlema 21174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
134133simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135120, 134mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
136112, 135absidd 12217 . . . . . . . . . . . . . 14
137115, 136eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13
138137breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12
139 rpre 10610 . . . . . . . . . . . . . 14
140139ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13
14165ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
142112, 140, 141ltmuldiv2d 10684 . . . . . . . . . . . 12
143138, 142bitr4d 248 . . . . . . . . . . 11
14445ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
145141rpred 10640 . . . . . . . . . . . . 13
146144lep1d 9934 . . . . . . . . . . . . 13
147144, 145, 112, 135, 146lemul1ad 9942 . . . . . . . . . . . 12
148144, 112remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . 13
149145, 112remulcld 9108 . . . . . . . . . . . . 13
150 lelttr 9157 . . . . . . . . . . . . 13
151148, 149, 140, 150syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12
152147, 151mpand 657 . . . . . . . . . . 11
153143, 152sylbid 207 . . . . . . . . . 10
154 1re 9082 . . . . . . . . . . . . . . 15
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
15672adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
157156nnge1d 10034 . . . . . . . . . . . . . 14
158155, 74, 76, 157, 82letrd 9219 . . . . . . . . . . . . 13
159 flge1nn 11218 . . . . . . . . . . . . 13
16076, 158, 159syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
161160adantlr 696 . . . . . . . . . . 11
16246ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
1639ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
164124ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
16572ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
16613adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16
167166adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15
1681303adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1691683adant1r 1177 . . . . . . . . . . . . . . 15
17068ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
17143ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15
17249ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
17384adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
17482adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
17576adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
176 fllep1 11202 . . . . . . . . . . . . . . . 16
177175, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
178160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
179 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
1806, 8, 162, 5, 7, 122, 163, 164, 126, 165, 167, 169, 170, 32, 171, 172, 173, 174, 177, 178, 179dchrisumlem2 21176 . . . . . . . . . . . . . 14
181180adantllr 700 . . . . . . . . . . . . 13
18236ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1831uztrn2 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
184161, 183sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
185182, 184ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16
186161adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
187182, 186ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . . . . 16
188185, 187subcld 9403 . . . . . . . . . . . . . . 15
189188abscld 12230 . . . . . . . . . . . . . 14
190148adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
191140adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
192 lelttr 9157 . . . . . . . . . . . . . 14
193189, 190, 191, 192syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
194181, 193mpand 657 . . . . . . . . . . . 12
195194ralrimdva 2788 . . . . . . . . . . 11
196 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
197 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . 16
198197oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15
199198fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . 14
200199breq1d 4214 . . . . . . . . . . . . 13
201196, 200raleqbidv 2908 . . . . . . . . . . . 12
202201rspcev 3044 . . . . . . . . . . 11
203161, 195, 202ee12an 1372 . . . . . . . . . 10
204153, 203syld 42 . . . . . . . . 9
205107, 204embantd 52 . . . . . . . 8
206104, 205syld 42 . . . . . . 7
207206rexlimdva 2822 . . . . . 6
20870, 207mpd 15 . . . . 5
209208ralrimiva 2781 . . . 4
210 seqex 11317 . . . . 5
211210a1i 11 . . . 4
2121, 37, 209, 211caucvg 12464 . . 3
213210eldm 5059 . . 3
214212, 213sylib 189 . 2
215 simpr 448 . . . . 5
216 elrege0 10999 . . . . . . . 8
21745, 64, 216sylanbrc 646 . . . . . . 7
218217adantr 452 . . . . . 6
219 eqid 2435 . . . . . . . 8
220 pnfxr 10705 . . . . . . . . . . . 12
221 icossre 10983 . . . . . . . . . . . 12
22273, 220, 221sylancl 644 . . . . . . . . . . 11
223222sselda 3340 . . . . . . . . . 10
224223adantlr 696 . . . . . . . . 9
225224flcld 11199 . . . . . . . 8
226 simplr 732 . . . . . . . . . 10
22736ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11
228154a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
22973ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13
23072ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
231230nnge1d 10034 . . . . . . . . . . . . 13
232 elicopnf 10992 . . . . . . . . . . . . . . . 16
23373, 232syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
234233simplbda 608 . . . . . . . . . . . . . 14
235234adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13
236228, 229, 224, 231, 235letrd 9219 . . . . . . . . . . . 12
237 flge1nn 11218 . . . . . . . . . . . 12
238224, 236, 237syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
239227, 238ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . 10
240 nnex 9998 . . . . . . . . . . . 12
241240mptex 5958 . . . . . . . . . . 11
242241a1i 11 . . . . . . . . . 10
243227adantr 452 . . . . . . . . . . 11
2441uztrn2 10495 . . . . . . . . . . . 12
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