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Theorem dchrisumlema 20653
Description: Lemma for dchrisum 20657. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3126 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2442 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3102 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2362 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 2891 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 26 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2296 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 10755 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 606 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 10946 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10136 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 10279 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1z 10069 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
1918a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
20 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
21 nnrp 10379 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2221ssriv 3197 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
23 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
241, 23fmptd 5700 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR )
25 fdm 5409 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  RR+ )
2624, 25syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2722, 26syl5sseqr 3240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2817, 19, 20, 27rlimclim1 12035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2928adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
30 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3130a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  e.  RR )
3211adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
3310nngt0d 9805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3433adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  M )
3513simplbda 607 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  I )
3631, 32, 14, 34, 35ltletrd 8992 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  I )
3714, 36elrpd 10404 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
382adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3937, 38, 7sylc 56 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
4039recnd 8877 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
41 ssid 3210 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
42 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
4341, 42climconst2 12038 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4440, 16, 43syl2anc 642 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4537rpge0d 10410 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <_  I )
46 flge0nn0 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4714, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
48 nn0p1nn 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4947, 48syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
5017uztrn2 10261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
5149, 50sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
5251nnrpd 10405 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
532ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
54 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5554nfel1 2442 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
56 csbeq1a 3102 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5756eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5855, 57rspc 2891 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5952, 53, 58sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
6023fvmpts 5619 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
6152, 59, 60syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
6261, 59eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
63 fvconst2g 5743 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6439, 63sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6539adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6664, 65eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6737adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
68 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
69683expia 1153 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
7069ralrimivva 2648 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
7170ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
72 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
73 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
74 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
75 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7674, 75, 3nfbr 4083 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7773, 76nfim 1781 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7872, 77nfral 2609 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
79 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
80 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
8179, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
825breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8381, 82imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8483ralbidv 2576 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8578, 84rspc 2891 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8667, 71, 85sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8735adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8814adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
89 reflcl 10944 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
90 peano2re 9001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
9188, 89, 903syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
9251nnred 9777 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
93 fllep1 10949 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9414, 93syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9594adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
96 eluzle 10256 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9796adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9888, 91, 92, 95, 97letrd 8989 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9987, 98jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
100 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
101100anbi2d 684 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
102 vex 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
_V
103102a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
104 eqtr3 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
105 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
106105eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
107104, 106syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
108103, 107csbied 3136 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
109108eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
110109breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
111101, 110imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
112111rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
11352, 86, 99, 112syl3c 57 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
114113, 61, 643brtr4d 4069 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1159, 16, 29, 44, 62, 66, 114climle 12129 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
116115ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1178, 116jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   [,)cico 10674   |_cfl 10940    ~~> cli 11974    ~~> r crli 11975   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  20655  dchrisumlem3  20656
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979
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