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Theorem dchrisumlema 21050
Description: Lemma for dchrisum 21054. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisum.2  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
dchrisum.3  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
dchrisum.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
dchrisum.5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
dchrisum.6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
dchrisum.7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Distinct variable groups:    x, n,  .1.    n, F, x    n, I, x    x, A    n, N, x    ph, n, x    B, n    n, Z, x    D, n, x    n, L, x    n, M, x   
n, X, x
Allowed substitution hints:    A( n)    B( x)    G( x, n)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  A  e.  RR )
21ralrimiva 2733 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3 nfcsb1v 3227 . . . . 5  |-  F/_ n [_ I  /  n ]_ A
43nfel1 2534 . . . 4  |-  F/ n [_ I  /  n ]_ A  e.  RR
5 csbeq1a 3203 . . . . 5  |-  ( n  =  I  ->  A  =  [_ I  /  n ]_ A )
65eleq1d 2454 . . . 4  |-  ( n  =  I  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
74, 6rspc 2990 . . 3  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
82, 7syl5com 28 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR ) )
9 eqid 2388 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  =  (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
1110nnred 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
12 elicopnf 10933 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  RR  ->  (
I  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1311, 12syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  <->  ( I  e.  RR  /\  M  <_  I ) ) )
1413simprbda 607 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  e.  RR )
1514flcld 11135 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  ZZ )
1615peano2zd 10311 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )
17 nnuz 10454 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
18 1z 10244 . . . . . . 7  |-  1  e.  ZZ
1918a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
20 dchrisum.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~> r  0 )
21 nnrp 10554 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  NN  ->  i  e.  RR+ )
2221ssriv 3296 . . . . . . 7  |-  NN  C_  RR+
23 eqid 2388 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  ( n  e.  RR+  |->  A )
241, 23fmptd 5833 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR )
25 fdm 5536 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) : RR+ --> RR  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  =  RR+ )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  ( n  e.  RR+  |->  A )  = 
RR+ )
2722, 26syl5sseqr 3341 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  C_  dom  ( n  e.  RR+  |->  A ) )
2817, 19, 20, 27rlimclim1 12267 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
2928adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( n  e.  RR+  |->  A )  ~~>  0 )
30 0re 9025 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  e.  RR )
3211adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  e.  RR )
3310nngt0d 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  M )
3433adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  M )
3513simplbda 608 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  M  <_  I )
3631, 32, 14, 34, 35ltletrd 9163 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <  I )
3714, 36elrpd 10579 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  e.  RR+ )
382adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
3937, 38, 7sylc 58 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
4039recnd 9048 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  CC )
41 ssid 3311 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  C_  ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )
42 fvex 5683 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  e.  _V
4341, 42climconst2 12270 . . . . 5  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  CC  /\  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4440, 16, 43syl2anc 643 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( ZZ>=
`  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } )  ~~>  [_ I  /  n ]_ A )
4537rpge0d 10585 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <_  I )
46 flge0nn0 11153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  RR  /\  0  <_  I )  -> 
( |_ `  I
)  e.  NN0 )
4714, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( |_ `  I )  e.  NN0 )
48 nn0p1nn 10192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN )
5017uztrn2 10436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  I )  +  1 )  e.  NN  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
i  e.  NN )
5149, 50sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  NN )
5251nnrpd 10580 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR+ )
532ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A  e.  RR )
54 nfcsb1v 3227 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n [_ i  /  n ]_ A
5554nfel1 2534 . . . . . . . 8  |-  F/ n [_ i  /  n ]_ A  e.  RR
56 csbeq1a 3203 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  i  ->  A  =  [_ i  /  n ]_ A )
5756eleq1d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  i  ->  ( A  e.  RR  <->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5855, 57rspc 2990 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A  e.  RR  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR ) )
5952, 53, 58sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )
6023fvmpts 5747 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  RR+  /\  [_ i  /  n ]_ A  e.  RR )  ->  (
( n  e.  RR+  |->  A ) `  i
)  =  [_ i  /  n ]_ A )
6152, 59, 60syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  = 
[_ i  /  n ]_ A )
6261, 59eqeltrd 2462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  e.  RR )
63 fvconst2g 5885 . . . . . 6  |-  ( (
[_ I  /  n ]_ A  e.  RR  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  -> 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6439, 63sylan 458 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  =  [_ I  /  n ]_ A
)
6539adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )
6664, 65eqeltrd 2462 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( (
ZZ>= `  ( ( |_
`  I )  +  1 ) )  X. 
{ [_ I  /  n ]_ A } ) `  i )  e.  RR )
6737adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR+ )
68 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  ( M  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  B  <_  A )
69683expia 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ ) )  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
7069ralrimivva 2742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
7170ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
) )
72 nfcv 2524 . . . . . . . . 9  |-  F/_ n RR+
73 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n
( M  <_  I  /\  I  <_  x )
74 nfcv 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n B
75 nfcv 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n  <_
7674, 75, 3nfbr 4198 . . . . . . . . . 10  |-  F/ n  B  <_  [_ I  /  n ]_ A
7773, 76nfim 1822 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
7872, 77nfral 2703 . . . . . . . 8  |-  F/ n A. x  e.  RR+  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )
79 breq2 4158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  ( M  <_  n  <->  M  <_  I ) )
80 breq1 4157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  I  ->  (
n  <_  x  <->  I  <_  x ) )
8179, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  x ) ) )
825breq2d 4166 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  I  ->  ( B  <_  A  <->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8381, 82imbi12d 312 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  I  ->  (
( ( M  <_  n  /\  n  <_  x
)  ->  B  <_  A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8483ralbidv 2670 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  I  ->  ( A. x  e.  RR+  (
( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A
)  <->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8578, 84rspc 2990 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  RR+  ->  ( A. n  e.  RR+  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  n  /\  n  <_  x )  ->  B  <_  A )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
8667, 71, 85sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
8735adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  M  <_  I
)
8814adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  e.  RR )
89 reflcl 11133 . . . . . . . . 9  |-  ( I  e.  RR  ->  ( |_ `  I )  e.  RR )
90 peano2re 9172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  I )  e.  RR  ->  (
( |_ `  I
)  +  1 )  e.  RR )
9188, 89, 903syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  e.  RR )
9251nnred 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  i  e.  RR )
93 fllep1 11138 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  RR  ->  I  <_  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )
9414, 93syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  I  <_  ( ( |_ `  I
)  +  1 ) )
9594adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )
96 eluzle 10431 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  (
( |_ `  I
)  +  1 ) )  ->  ( ( |_ `  I )  +  1 )  <_  i
)
9796adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  I )  +  1 )  <_  i
)
9888, 91, 92, 95, 97letrd 9160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  I  <_  i
)
9987, 98jca 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( M  <_  I  /\  I  <_  i
) )
100 breq2 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  (
I  <_  x  <->  I  <_  i ) )
101100anbi2d 685 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  x )  <-> 
( M  <_  I  /\  I  <_  i ) ) )
102 vex 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  i  e. 
_V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  i  ->  i  e.  _V )
104 equtr2 1695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  x  =  n )
105 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  x  ->  A  =  B )
106105equcoms 1688 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  n  ->  A  =  B )
107104, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  i  /\  n  =  i )  ->  A  =  B )
108103, 107csbied 3237 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  i  ->  [_ i  /  n ]_ A  =  B )
109108eqcomd 2393 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  i  ->  B  =  [_ i  /  n ]_ A )
110109breq1d 4164 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  i  ->  ( B  <_  [_ I  /  n ]_ A  <->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
111101, 110imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  i  ->  (
( ( M  <_  I  /\  I  <_  x
)  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  <->  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
112111rspcv 2992 . . . . . 6  |-  ( i  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  RR+  ( ( M  <_  I  /\  I  <_  x )  ->  B  <_  [_ I  /  n ]_ A )  ->  (
( M  <_  I  /\  I  <_  i )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
11352, 86, 99, 112syl3c 59 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  [_ i  /  n ]_ A  <_  [_ I  /  n ]_ A )
114113, 61, 643brtr4d 4184 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) ) )  ->  ( ( n  e.  RR+  |->  A ) `
 i )  <_ 
( ( ( ZZ>= `  ( ( |_ `  I )  +  1 ) )  X.  { [_ I  /  n ]_ A } ) `  i ) )
1159, 16, 29, 44, 62, 66, 114climle 12361 . . 3  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( M [,)  +oo )
)  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A )
116115ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) )
1178, 116jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( ( I  e.  RR+  ->  [_ I  /  n ]_ A  e.  RR )  /\  ( I  e.  ( M [,)  +oo )  ->  0  <_  [_ I  /  n ]_ A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   A.wral 2650   _Vcvv 2900   [_csb 3195   {csn 3758   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208    X. cxp 4817   dom cdm 4819   -->wf 5391   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    + caddc 8927    x. cmul 8929    +oocpnf 9051    < clt 9054    <_ cle 9055   NNcn 9933   NN0cn0 10154   ZZcz 10215   ZZ>=cuz 10421   RR+crp 10545   [,)cico 10851   |_cfl 11129    ~~> cli 12206    ~~> r crli 12207   Basecbs 13397   0gc0g 13651   ZRHomczrh 16702  ℤ/nczn 16705  DChrcdchr 20884
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  21052  dchrisumlem3  21053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-pm 6958  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-sup 7382  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-n0 10155  df-z 10216  df-uz 10422  df-rp 10546  df-ico 10855  df-fl 11130  df-seq 11252  df-exp 11311  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-clim 12210  df-rlim 12211
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