Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumlema Structured version   Unicode version

Theorem dchrisumlema 21174
 Description: Lemma for dchrisum 21178. Lemma 9.4.1 of [Shapiro], p. 377. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrisum.2
dchrisum.3
dchrisum.4
dchrisum.5
dchrisum.6
dchrisum.7
Assertion
Ref Expression
dchrisumlema
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem dchrisumlema
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrisum.4 . . . 4
21ralrimiva 2781 . . 3
3 nfcsb1v 3275 . . . . 5
43nfel1 2581 . . . 4
5 csbeq1a 3251 . . . . 5
65eleq1d 2501 . . . 4
74, 6rspc 3038 . . 3
82, 7syl5com 28 . 2
9 eqid 2435 . . . 4
10 dchrisum.3 . . . . . . . . 9
1110nnred 10007 . . . . . . . 8
12 elicopnf 10992 . . . . . . . 8
1311, 12syl 16 . . . . . . 7
1413simprbda 607 . . . . . 6
1514flcld 11199 . . . . 5
1615peano2zd 10370 . . . 4
17 nnuz 10513 . . . . . 6
18 1z 10303 . . . . . . 7
1918a1i 11 . . . . . 6
20 dchrisum.6 . . . . . 6
21 nnrp 10613 . . . . . . . 8
2221ssriv 3344 . . . . . . 7
23 eqid 2435 . . . . . . . . 9
241, 23fmptd 5885 . . . . . . . 8
25 fdm 5587 . . . . . . . 8
2624, 25syl 16 . . . . . . 7
2722, 26syl5sseqr 3389 . . . . . 6
2817, 19, 20, 27rlimclim1 12331 . . . . 5
2928adantr 452 . . . 4
30 0re 9083 . . . . . . . . . 10
3130a1i 11 . . . . . . . . 9
3211adantr 452 . . . . . . . . 9
3310nngt0d 10035 . . . . . . . . . 10
3433adantr 452 . . . . . . . . 9
3513simplbda 608 . . . . . . . . 9
3631, 32, 14, 34, 35ltletrd 9222 . . . . . . . 8
3714, 36elrpd 10638 . . . . . . 7
382adantr 452 . . . . . . 7
3937, 38, 7sylc 58 . . . . . 6
4039recnd 9106 . . . . 5
41 ssid 3359 . . . . . 6
42 fvex 5734 . . . . . 6
4341, 42climconst2 12334 . . . . 5
4440, 16, 43syl2anc 643 . . . 4
4537rpge0d 10644 . . . . . . . . . 10
46 flge0nn0 11217 . . . . . . . . . 10
4714, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . 9
48 nn0p1nn 10251 . . . . . . . . 9
4947, 48syl 16 . . . . . . . 8
5017uztrn2 10495 . . . . . . . 8
5149, 50sylan 458 . . . . . . 7
5251nnrpd 10639 . . . . . 6
532ad2antrr 707 . . . . . . 7
54 nfcsb1v 3275 . . . . . . . . 9
5554nfel1 2581 . . . . . . . 8
56 csbeq1a 3251 . . . . . . . . 9
5756eleq1d 2501 . . . . . . . 8
5855, 57rspc 3038 . . . . . . 7
5952, 53, 58sylc 58 . . . . . 6
6023fvmpts 5799 . . . . . 6
6152, 59, 60syl2anc 643 . . . . 5
6261, 59eqeltrd 2509 . . . 4
63 fvconst2g 5937 . . . . . 6
6439, 63sylan 458 . . . . 5
6539adantr 452 . . . . 5
6664, 65eqeltrd 2509 . . . 4
6737adantr 452 . . . . . . 7
68 dchrisum.5 . . . . . . . . . 10
69683expia 1155 . . . . . . . . 9
7069ralrimivva 2790 . . . . . . . 8
7170ad2antrr 707 . . . . . . 7
72 nfcv 2571 . . . . . . . . 9
73 nfv 1629 . . . . . . . . . 10
74 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11
75 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11
7674, 75, 3nfbr 4248 . . . . . . . . . 10
7773, 76nfim 1832 . . . . . . . . 9
7872, 77nfral 2751 . . . . . . . 8
79 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11
80 breq1 4207 . . . . . . . . . . 11
8179, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
825breq2d 4216 . . . . . . . . . 10
8381, 82imbi12d 312 . . . . . . . . 9
8483ralbidv 2717 . . . . . . . 8
8578, 84rspc 3038 . . . . . . 7
8667, 71, 85sylc 58 . . . . . 6
8735adantr 452 . . . . . . 7
8814adantr 452 . . . . . . . 8
89 reflcl 11197 . . . . . . . . 9
90 peano2re 9231 . . . . . . . . 9
9188, 89, 903syl 19 . . . . . . . 8
9251nnred 10007 . . . . . . . 8
93 fllep1 11202 . . . . . . . . . 10
9414, 93syl 16 . . . . . . . . 9
9594adantr 452 . . . . . . . 8
96 eluzle 10490 . . . . . . . . 9
9796adantl 453 . . . . . . . 8
9888, 91, 92, 95, 97letrd 9219 . . . . . . 7
9987, 98jca 519 . . . . . 6
100 breq2 4208 . . . . . . . . 9
101100anbi2d 685 . . . . . . . 8
102 vex 2951 . . . . . . . . . . . 12
103102a1i 11 . . . . . . . . . . 11
104 equtr2 1700 . . . . . . . . . . . 12
105 dchrisum.2 . . . . . . . . . . . . 13
106105equcoms 1693 . . . . . . . . . . . 12
107104, 106syl 16 . . . . . . . . . . 11
108103, 107csbied 3285 . . . . . . . . . 10
109108eqcomd 2440 . . . . . . . . 9
110109breq1d 4214 . . . . . . . 8
111101, 110imbi12d 312 . . . . . . 7
112111rspcv 3040 . . . . . 6
11352, 86, 99, 112syl3c 59 . . . . 5
114113, 61, 643brtr4d 4234 . . . 4
1159, 16, 29, 44, 62, 66, 114climle 12425 . . 3
116115ex 424 . 2
1178, 116jca 519 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948  csb 3243  csn 3806   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cxp 4868   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cpnf 9109   clt 9112   cle 9113  cn 9992  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cico 10910  cfl 11193   cli 12270   crli 12271  cbs 13461  c0g 13715  RHomczrh 16770  ℤ/nℤczn 16773  DChrcdchr 21008 This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  21176  dchrisumlem3  21177 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ico 10914  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275
 Copyright terms: Public domain W3C validator