MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisumn0 Unicode version

Theorem dchrisumn0 20670
Description: The sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is nonzero for all non-principal Dirichlet characters (i.e. the assumption  X  e.  W is contradictory). This is the key result that allows us to eliminate the conditionals from dchrmusum2 20643 and dchrvmasumif 20652. Lemma 9.4.4 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrmusum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmusum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmusum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrmusum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmusum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrmusum.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrmusum.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrmusum.t  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
dchrmusum.2  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
Assertion
Ref Expression
dchrisumn0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Distinct variable groups:    y,  .1.    y, C    y, F    y,
a    y, N    y, T    y, Z    y, D    L, a, y    X, a, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    T( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, a)    N( a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrisumn0
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
43adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  N  e.  NN )
5 dchrmusum.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
6 dchrmusum.d . . . 4  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 dchrmusum.1 . . . 4  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
8 eqid 2283 . . . 4  |-  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  | 
sum_ m  e.  NN  ( ( y `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
9 dchrmusum.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
10 dchrmusum.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
11 dchrmusum.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
12 dchrmusum.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
13 dchrmusum.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  T )
14 dchrmusum.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  T ) )  <_ 
( C  /  y
) )
151, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 8dchrvmaeq0 20653 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  e.  {
y  e.  ( D 
\  {  .1.  }
)  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }  <->  T  =  0
) )
1615biimpar 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  T  = 
0 )  ->  X  e.  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 } )
171, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 16dchrisum0 20669 . . 3  |-  -.  ( ph  /\  T  =  0 )
1817imnani 412 . 2  |-  ( ph  ->  -.  T  =  0 )
19 df-ne 2448 . 2  |-  ( T  =/=  0  <->  -.  T  =  0 )
2018, 19sylibr 203 1  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   [,)cico 10658   |_cfl 10924    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrmusumlem  20671  dchrvmasumlem  20672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-concat 11410  df-s1 11411  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-numer 12806  df-denom 12807  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-gim 14723  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-oppg 14819  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-pj1 14948  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-cyg 15165  df-dprd 15233  df-dpj 15234  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-dvr 15465  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-cmp 17114  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-0p 19025  df-limc 19216  df-dv 19217  df-ply 19570  df-idp 19571  df-coe 19572  df-dgr 19573  df-quot 19671  df-log 19914  df-cxp 19915  df-em 20287  df-cht 20334  df-vma 20335  df-chp 20336  df-ppi 20337  df-mu 20338  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator