Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulcl Unicode version

Theorem dchrmulcl 20504
 Description: Closure of the group operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrmul.t
dchrmul.x
dchrmul.y
Assertion
Ref Expression
dchrmulcl

Proof of Theorem dchrmulcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 DChr
2 dchrmhm.z . . 3 ℤ/n
3 dchrmhm.b . . 3
4 dchrmul.t . . 3
5 dchrmul.x . . 3
6 dchrmul.y . . 3
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrmul 20503 . 2
8 mulcl 8837 . . . . 5
98adantl 452 . . . 4
10 eqid 2296 . . . . 5
111, 2, 3, 10, 5dchrf 20497 . . . 4
121, 2, 3, 10, 6dchrf 20497 . . . 4
13 fvex 5555 . . . . 5
1413a1i 10 . . . 4
15 inidm 3391 . . . 4
169, 11, 12, 14, 14, 15off 6109 . . 3
17 eqid 2296 . . . . . . . 8 Unit Unit
1810, 17unitcl 15457 . . . . . . 7 Unit
1910, 17unitcl 15457 . . . . . . 7 Unit
2018, 19anim12i 549 . . . . . 6 Unit Unit
211, 3dchrrcl 20495 . . . . . . . . . . . . . 14
225, 21syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
231, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas2 20492 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
245, 23mpbid 201 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
2524simpld 445 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld
26 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrp mulGrp
2726, 10mgpbas 15347 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
2926, 28mgpplusg 15345 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp
30 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 mulGrpfld mulGrpfld
31 cnfldmul 16401 . . . . . . . . . . . . 13 fld
3230, 31mgpplusg 15345 . . . . . . . . . . . 12 mulGrpfld
3327, 29, 32mhmlin 14438 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld
34333expb 1152 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld
3525, 34sylan 457 . . . . . . . . 9
361, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas2 20492 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
376, 36mpbid 201 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld Unit
3837simpld 445 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld
3927, 29, 32mhmlin 14438 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld
40393expb 1152 . . . . . . . . . 10 mulGrp MndHom mulGrpfld
4138, 40sylan 457 . . . . . . . . 9
4235, 41oveq12d 5892 . . . . . . . 8
43 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
4411, 43sylan 457 . . . . . . . . . 10
4544adantrr 697 . . . . . . . . 9
46 simpr 447 . . . . . . . . . 10
47 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
4811, 46, 47syl2an 463 . . . . . . . . 9
49 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11
5012, 49sylan 457 . . . . . . . . . 10
5150adantrr 697 . . . . . . . . 9
52 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10
5312, 46, 52syl2an 463 . . . . . . . . 9
5445, 48, 51, 53mul4d 9040 . . . . . . . 8
5542, 54eqtrd 2328 . . . . . . 7
56 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
5711, 56syl 15 . . . . . . . . 9
5857adantr 451 . . . . . . . 8
59 ffn 5405 . . . . . . . . . 10
6012, 59syl 15 . . . . . . . . 9
6160adantr 451 . . . . . . . 8
6213a1i 10 . . . . . . . 8
6322nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10
642zncrng 16514 . . . . . . . . . 10
65 crngrng 15367 . . . . . . . . . 10
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . 9
6710, 28rngcl 15370 . . . . . . . . . 10
68673expb 1152 . . . . . . . . 9
6966, 68sylan 457 . . . . . . . 8
70 fnfvof 6106 . . . . . . . 8
7158, 61, 62, 69, 70syl22anc 1183 . . . . . . 7
7257adantr 451 . . . . . . . . . 10
7360adantr 451 . . . . . . . . . 10
7413a1i 10 . . . . . . . . . 10
75 simpr 447 . . . . . . . . . 10
76 fnfvof 6106 . . . . . . . . . 10
7772, 73, 74, 75, 76syl22anc 1183 . . . . . . . . 9
7877adantrr 697 . . . . . . . 8
79 simprr 733 . . . . . . . . 9
80 fnfvof 6106 . . . . . . . . 9
8158, 61, 62, 79, 80syl22anc 1183 . . . . . . . 8
8278, 81oveq12d 5892 . . . . . . 7
8355, 71, 823eqtr4d 2338 . . . . . 6
8420, 83sylan2 460 . . . . 5 Unit Unit
8584ralrimivva 2648 . . . 4 Unit Unit
86 eqid 2296 . . . . . . . 8
8710, 86rngidcl 15377 . . . . . . 7
8866, 87syl 15 . . . . . 6
89 fnfvof 6106 . . . . . 6
9057, 60, 14, 88, 89syl22anc 1183 . . . . 5
9126, 86rngidval 15359 . . . . . . . . 9 mulGrp
92 cnfld1 16415 . . . . . . . . . 10 fld
9330, 92rngidval 15359 . . . . . . . . 9 mulGrpfld
9491, 93mhm0 14439 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
9525, 94syl 15 . . . . . . 7
9691, 93mhm0 14439 . . . . . . . 8 mulGrp MndHom mulGrpfld
9738, 96syl 15 . . . . . . 7
9895, 97oveq12d 5892 . . . . . 6
99 1t1e1 9886 . . . . . 6
10098, 99syl6eq 2344 . . . . 5
10190, 100eqtrd 2328 . . . 4
10277neeq1d 2472 . . . . . . 7
10344, 50mulne0bd 9435 . . . . . . 7
104102, 103bitr4d 247 . . . . . 6
10524simprd 449 . . . . . . . 8 Unit
106105r19.21bi 2654 . . . . . . 7 Unit
107106adantrd 454 . . . . . 6 Unit
108104, 107sylbid 206 . . . . 5 Unit
109108ralrimiva 2639 . . . 4 Unit
11085, 101, 1093jca 1132 . . 3 Unit Unit Unit
1111, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas3 20493 . . 3 Unit Unit Unit
11216, 110, 111mpbir2and 888 . 2
1137, 112eqeltrd 2370 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cvv 2801   wfn 5266  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758  cn 9762  cn0 9981  cbs 13164   cplusg 13224  cmulr 13225   MndHom cmhm 14429  mulGrpcmgp 15341  crg 15353  ccrg 15354  cur 15355  Unitcui 15437  ℂfldccnfld 16393  ℤ/nℤczn 16470  DChrcdchr 20487 This theorem is referenced by:  dchrabl  20509  dchrinv  20516 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zn 16474  df-dchr 20488
 Copyright terms: Public domain W3C validator