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Theorem dchrmulcl 21033
Description: Closure of the group operation on Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmul.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmul.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrmul.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmulcl  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  D )

Proof of Theorem dchrmulcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrmul.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
6 dchrmul.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrmul 21032 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  =  ( X  o F  x.  Y
) )
8 mulcl 9074 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  x.  y
)  e.  CC )
98adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  -> 
( x  x.  y
)  e.  CC )
10 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
111, 2, 3, 10, 5dchrf 21026 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
121, 2, 3, 10, 6dchrf 21026 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
13 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
1413a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Base `  Z
)  e.  _V )
15 inidm 3550 . . . 4  |-  ( (
Base `  Z )  i^i  ( Base `  Z
) )  =  (
Base `  Z )
169, 11, 12, 14, 14, 15off 6320 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  o F  x.  Y ) : ( Base `  Z
) --> CC )
17 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
1810, 17unitcl 15764 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  (Unit `  Z
)  ->  x  e.  ( Base `  Z )
)
1910, 17unitcl 15764 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  (Unit `  Z
)  ->  y  e.  ( Base `  Z )
)
2018, 19anim12i 550 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  (Unit `  Z )  /\  y  e.  (Unit `  Z )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )
211, 3dchrrcl 21024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
225, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
231, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas2 21021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( X `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) ) )
245, 23mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  Z ) ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) ) )
2524simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
26 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
2726, 10mgpbas 15654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  (mulGrp `  Z
) )
28 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2926, 28mgpplusg 15652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
30 eqid 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
31 cnfldmul 16709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x.  =  ( .r ` fld )
3230, 31mgpplusg 15652 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
3327, 29, 32mhmlin 14745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) )
34333expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
3525, 34sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( X `  y
) ) )
361, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas2 21021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  D  <->  ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( Y `
 x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) ) ) )
376, 36mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. x  e.  ( Base `  Z ) ( ( Y `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) ) )
3837simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
3927, 29, 32mhmlin 14745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  ->  ( Y `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( Y `  x
)  x.  ( Y `
 y ) ) )
40393expb 1154 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( Y `
 x )  x.  ( Y `  y
) ) )
4138, 40sylan 458 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( Y `
 x )  x.  ( Y `  y
) ) )
4235, 41oveq12d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `
 ( x ( .r `  Z ) y ) ) )  =  ( ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) )  x.  ( ( Y `  x )  x.  ( Y `  y )
) ) )
4311ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( X `  x )  e.  CC )
4443adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  x )  e.  CC )
45 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z
) )  ->  y  e.  ( Base `  Z
) )
46 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X : ( Base `  Z ) --> CC  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  y
)  e.  CC )
4711, 45, 46syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( X `  y )  e.  CC )
4812ffvelrnda 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( Y `  x )  e.  CC )
4948adantrr 698 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  x )  e.  CC )
50 ffvelrn 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y : ( Base `  Z ) --> CC  /\  y  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( Y `  y
)  e.  CC )
5112, 45, 50syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Y `  y )  e.  CC )
5244, 47, 49, 51mul4d 9278 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  x.  ( ( Y `  x )  x.  ( Y `  y ) ) )  =  ( ( ( X `  x )  x.  ( Y `  x ) )  x.  ( ( X `  y )  x.  ( Y `  y )
) ) )
5342, 52eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `
 ( x ( .r `  Z ) y ) ) )  =  ( ( ( X `  x )  x.  ( Y `  x ) )  x.  ( ( X `  y )  x.  ( Y `  y )
) ) )
54 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
5511, 54syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
5655adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
57 ffn 5591 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
5812, 57syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
5958adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
6013a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  ( Base `  Z )  e. 
_V )
6122nnnn0d 10274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
622zncrng 16825 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
63 crngrng 15674 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
6461, 62, 633syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
6510, 28rngcl 15677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( x
( .r `  Z
) y )  e.  ( Base `  Z
) )
66653expb 1154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  Z )  /\  y  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  ( Base `  Z ) )
6764, 66sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  ( Base `  Z
) )
68 fnfvof 6317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  ( x ( .r
`  Z ) y )  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( X `
 ( x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `  (
x ( .r `  Z ) y ) ) ) )
6956, 59, 60, 67, 68syl22anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  x.  ( Y `
 ( x ( .r `  Z ) y ) ) ) )
7055adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  X  Fn  ( Base `  Z )
)
7158adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  Y  Fn  ( Base `  Z )
)
7213a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( Base `  Z )  e.  _V )
73 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  x  e.  ( Base `  Z )
)
74 fnfvof 6317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  x  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  x )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( Y `  x
) ) )
7570, 71, 72, 73, 74syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  x )  =  ( ( X `
 x )  x.  ( Y `  x
) ) )
7675adantrr 698 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( Y `
 x ) ) )
77 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  y  e.  ( Base `  Z
) )
78 fnfvof 6317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  y  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  y )  =  ( ( X `
 y )  x.  ( Y `  y
) ) )
7956, 59, 60, 77, 78syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  y )  =  ( ( X `  y
)  x.  ( Y `
 y ) ) )
8076, 79oveq12d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) )  =  ( ( ( X `
 x )  x.  ( Y `  x
) )  x.  (
( X `  y
)  x.  ( Y `
 y ) ) ) )
8153, 69, 803eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  ( Base `  Z
)  /\  y  e.  ( Base `  Z )
) )  ->  (
( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) ) )
8220, 81sylan2 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  (Unit `  Z )  /\  y  e.  (Unit `  Z ) ) )  ->  ( ( X  o F  x.  Y
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x
)  x.  ( ( X  o F  x.  Y ) `  y
) ) )
8382ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( ( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) ) )
84 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
8510, 84rngidcl 15684 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  ( Base `  Z
) )
8664, 85syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  ( Base `  Z ) )
87 fnfvof 6317 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  ( ( Base `  Z
)  e.  _V  /\  ( 1r `  Z )  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `  ( 1r `  Z ) ) ) )
8855, 58, 14, 86, 87syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `  ( 1r `  Z ) ) ) )
8926, 84rngidval 15666 . . . . . . . . 9  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
90 cnfld1 16726 . . . . . . . . . 10  |-  1  =  ( 1r ` fld )
9130, 90rngidval 15666 . . . . . . . . 9  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
9289, 91mhm0 14746 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9325, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9489, 91mhm0 14746 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( Y `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9538, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
9693, 95oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `
 ( 1r `  Z ) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
97 1t1e1 10126 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
9896, 97syl6eq 2484 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( 1r `  Z ) )  x.  ( Y `
 ( 1r `  Z ) ) )  =  1 )
9988, 98eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  1 )
10075neeq1d 2614 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =/=  0  <->  ( ( X `  x
)  x.  ( Y `
 x ) )  =/=  0 ) )
10143, 48mulne0bd 9673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( Y `  x
)  =/=  0 )  <-> 
( ( X `  x )  x.  ( Y `  x )
)  =/=  0 ) )
102100, 101bitr4d 248 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =/=  0  <->  ( ( X `  x
)  =/=  0  /\  ( Y `  x
)  =/=  0 ) ) )
10324simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
104103r19.21bi 2804 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( ( X `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
105104adantrd 455 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X `  x
)  =/=  0  /\  ( Y `  x
)  =/=  0 )  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
106102, 105sylbid 207 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( Base `  Z )
)  ->  ( (
( X  o F  x.  Y ) `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z ) ) )
107106ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
Base `  Z )
( ( ( X  o F  x.  Y
) `  x )  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z )
) )
10883, 99, 1073jca 1134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z ) ( ( X  o F  x.  Y ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) )  /\  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) )
1091, 2, 10, 17, 22, 3dchrelbas3 21022 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  x.  Y )  e.  D  <->  ( ( X  o F  x.  Y
) : ( Base `  Z ) --> CC  /\  ( A. x  e.  (Unit `  Z ) A. y  e.  (Unit `  Z )
( ( X  o F  x.  Y ) `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x )  x.  (
( X  o F  x.  Y ) `  y ) )  /\  ( ( X  o F  x.  Y ) `  ( 1r `  Z
) )  =  1  /\  A. x  e.  ( Base `  Z
) ( ( ( X  o F  x.  Y ) `  x
)  =/=  0  ->  x  e.  (Unit `  Z
) ) ) ) ) )
11016, 108, 109mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  o F  x.  Y )  e.  D )
1117, 110eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( X  .x.  Y
)  e.  D )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    Fn wfn 5449   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995   NNcn 10000   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530   MndHom cmhm 14736  mulGrpcmgp 15648   Ringcrg 15660   CRingccrg 15661   1rcur 15662  Unitcui 15744  ℂfldccnfld 16703  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrabl  21038  dchrinv  21045
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-imas 13734  df-divs 13735  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-cnfld 16704  df-zn 16785  df-dchr 21017
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