MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Unicode version

Theorem dchrmulid2 20491
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchrmulid2.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmulid2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, X    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .x. ( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmulid2.t . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrn0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 dchrn0.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Z )
7 dchr1cl.o . . . 4  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
8 dchrmulid2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
91, 3dchrrcl 20479 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 20490 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 20487 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  (  .1. 
o F  x.  X
) )
13 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1413eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 1  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
15 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1615eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 0  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
171, 2, 3, 5, 8dchrf 20481 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
18 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : B --> CC  /\  k  e.  B )  ->  ( X `  k
)  e.  CC )
1917, 18sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
2120mulid2d 8853 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  (
1  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
22 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
2322mul02i 9001 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
241, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 20476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) ) ) )
258, 24mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. k  e.  B  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) ) )
2625simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2726r19.21bi 2641 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) )
2827necon1bd 2514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k
)  =  0 ) )
2928imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( X `  k
)  =  0 )
3029oveq2d 5874 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
3123, 30, 293eqtr4a 2341 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( X `
 k ) )
3214, 16, 21, 31ifbothda 3595 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
3332mpteq2dva 4106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) )  =  ( k  e.  B  |->  ( X `  k
) ) )
34 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
355, 34eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3635a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
37 ax-1cn 8795 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3837, 22keepel 3622 . . . . 5  |-  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 )  e.  CC
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  e.  CC )
407a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) )
4117feqmptd 5575 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( k  e.  B  |->  ( X `
 k ) ) )
4236, 39, 19, 40, 41offval2 6095 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .1.  o F  x.  X )  =  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) ) )
4333, 42, 413eqtr4d 2325 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  o F  x.  X )  =  X )
4412, 43eqtrd 2315 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ifcif 3565    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   MndHom cmhm 14413  mulGrpcmgp 15325  Unitcui 15421  ℂfldccnfld 16377  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrabl  20493  dchr1  20496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zn 16458  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator