MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Unicode version

Theorem dchrmulid2 20507
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchrmulid2.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmulid2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, X    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .x. ( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmulid2.t . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrn0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 dchrn0.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Z )
7 dchr1cl.o . . . 4  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
8 dchrmulid2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
91, 3dchrrcl 20495 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
108, 9syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 20506 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 20503 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  (  .1. 
o F  x.  X
) )
13 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1413eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 1  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
15 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1615eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 0  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
171, 2, 3, 5, 8dchrf 20497 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
18 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : B --> CC  /\  k  e.  B )  ->  ( X `  k
)  e.  CC )
1917, 18sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
2019adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
2120mulid2d 8869 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  (
1  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
22 0cn 8847 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
2322mul02i 9017 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
241, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 20492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) ) ) )
258, 24mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. k  e.  B  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) ) )
2625simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2726r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) )
2827necon1bd 2527 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k
)  =  0 ) )
2928imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( X `  k
)  =  0 )
3029oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
3123, 30, 293eqtr4a 2354 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( X `
 k ) )
3214, 16, 21, 31ifbothda 3608 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
3332mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) )  =  ( k  e.  B  |->  ( X `  k
) ) )
34 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
355, 34eqeltri 2366 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3635a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
37 ax-1cn 8811 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3837, 22keepel 3635 . . . . 5  |-  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 )  e.  CC
3938a1i 10 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  e.  CC )
407a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) )
4117feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( k  e.  B  |->  ( X `
 k ) ) )
4236, 39, 19, 40, 41offval2 6111 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .1.  o F  x.  X )  =  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) ) )
4333, 42, 413eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  o F  x.  X )  =  X )
4412, 43eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   ifcif 3578    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758   NNcn 9762   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   MndHom cmhm 14429  mulGrpcmgp 15341  Unitcui 15437  ℂfldccnfld 16393  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrabl  20509  dchr1  20512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zn 16474  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator