MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Structured version   Unicode version

Theorem dchrmulid2 21026
Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrn0.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrn0.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchr1cl.o  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
dchrmulid2.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrmulid2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Distinct variable groups:    B, k    U, k    k, N    ph, k    k, X    k, Z
Allowed substitution hints:    D( k)    .x. ( k)    .1. ( k)    G( k)

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrmhm.b . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 dchrmulid2.t . . 3  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
5 dchrn0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Z
)
6 dchrn0.u . . . 4  |-  U  =  (Unit `  Z )
7 dchr1cl.o . . . 4  |-  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 ) )
8 dchrmulid2.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
91, 3dchrrcl 21014 . . . . 5  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 21025 . . 3  |-  ( ph  ->  .1.  e.  D )
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 21022 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  (  .1. 
o F  x.  X
) )
13 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1413eqeq1d 2443 . . . . 5  |-  ( 1  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 1  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
15 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) ) )
1615eqeq1d 2443 . . . . 5  |-  ( 0  =  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  -> 
( ( 0  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k )  <-> 
( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) )  =  ( X `  k ) ) )
171, 2, 3, 5, 8dchrf 21016 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X : B --> CC )
1817ffvelrnda 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
1918adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  ( X `  k )  e.  CC )
2019mulid2d 9096 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  k  e.  U )  ->  (
1  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
21 0cn 9074 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
2221mul02i 9245 . . . . . 6  |-  ( 0  x.  0 )  =  0
231, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 21011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X  e.  D  <->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) ) ) )
248, 23mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  /\  A. k  e.  B  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) ) )
2524simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( ( X `  k )  =/=  0  ->  k  e.  U ) )
2625r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
( X `  k
)  =/=  0  -> 
k  e.  U ) )
2726necon1bd 2666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  U  ->  ( X `  k
)  =  0 ) )
2827imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( X `  k
)  =  0 )
2928oveq2d 6089 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( 0  x.  0 ) )
3022, 29, 283eqtr4a 2493 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  -.  k  e.  U )  ->  ( 0  x.  ( X `  k )
)  =  ( X `
 k ) )
3114, 16, 20, 30ifbothda 3761 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `
 k ) )  =  ( X `  k ) )
3231mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) )  =  ( k  e.  B  |->  ( X `  k
) ) )
33 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  e.  _V
345, 33eqeltri 2505 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3534a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
36 ax-1cn 9038 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
3736, 21keepel 3788 . . . . 5  |-  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 )  e.  CC
3837a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  e.  CC )
397a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( k  e.  B  |->  if ( k  e.  U , 
1 ,  0 ) ) )
4017feqmptd 5771 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( k  e.  B  |->  ( X `
 k ) ) )
4135, 38, 18, 39, 40offval2 6314 . . 3  |-  ( ph  ->  (  .1.  o F  x.  X )  =  ( k  e.  B  |->  ( if ( k  e.  U ,  1 ,  0 )  x.  ( X `  k
) ) ) )
4232, 41, 403eqtr4d 2477 . 2  |-  ( ph  ->  (  .1.  o F  x.  X )  =  X )
4312, 42eqtrd 2467 1  |-  ( ph  ->  (  .1.  .x.  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   _Vcvv 2948   ifcif 3731    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   CCcc 8978   0cc0 8980   1c1 8981    x. cmul 8985   NNcn 9990   Basecbs 13459   +g cplusg 13519   MndHom cmhm 14726  mulGrpcmgp 15638  Unitcui 15734  ℂfldccnfld 16693  ℤ/nczn 16771  DChrcdchr 21006
This theorem is referenced by:  dchrabl  21028  dchr1  21031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-addf 9059  ax-mulf 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-0g 13717  df-imas 13724  df-divs 13725  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-nsg 14932  df-eqg 14933  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-lidl 16236  df-rsp 16237  df-2idl 16293  df-cnfld 16694  df-zn 16775  df-dchr 21007
  Copyright terms: Public domain W3C validator