Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrmulid2 Unicode version

Theorem dchrmulid2 20507
 Description: Left identity for the principal Dirichlet character. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrn0.b
dchrn0.u Unit
dchr1cl.o
dchrmulid2.t
dchrmulid2.x
Assertion
Ref Expression
dchrmulid2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrmulid2
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . 3 DChr
2 dchrmhm.z . . 3 ℤ/n
3 dchrmhm.b . . 3
4 dchrmulid2.t . . 3
5 dchrn0.b . . . 4
6 dchrn0.u . . . 4 Unit
7 dchr1cl.o . . . 4
8 dchrmulid2.x . . . . 5
91, 3dchrrcl 20495 . . . . 5
108, 9syl 15 . . . 4
111, 2, 3, 5, 6, 7, 10dchr1cl 20506 . . 3
121, 2, 3, 4, 11, 8dchrmul 20503 . 2
13 oveq1 5881 . . . . . 6
1413eqeq1d 2304 . . . . 5
15 oveq1 5881 . . . . . 6
1615eqeq1d 2304 . . . . 5
171, 2, 3, 5, 8dchrf 20497 . . . . . . . 8
18 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8
1917, 18sylan 457 . . . . . . 7
2019adantr 451 . . . . . 6
2120mulid2d 8869 . . . . 5
22 0cn 8847 . . . . . . 7
2322mul02i 9017 . . . . . 6
241, 2, 5, 6, 10, 3dchrelbas2 20492 . . . . . . . . . . . 12 mulGrp MndHom mulGrpfld
258, 24mpbid 201 . . . . . . . . . . 11 mulGrp MndHom mulGrpfld
2625simprd 449 . . . . . . . . . 10
2726r19.21bi 2654 . . . . . . . . 9
2827necon1bd 2527 . . . . . . . 8
2928imp 418 . . . . . . 7
3029oveq2d 5890 . . . . . 6
3123, 30, 293eqtr4a 2354 . . . . 5
3214, 16, 21, 31ifbothda 3608 . . . 4
3332mpteq2dva 4122 . . 3
34 fvex 5555 . . . . . 6
355, 34eqeltri 2366 . . . . 5
3635a1i 10 . . . 4
37 ax-1cn 8811 . . . . . 6
3837, 22keepel 3635 . . . . 5
3938a1i 10 . . . 4
407a1i 10 . . . 4
4117feqmptd 5591 . . . 4
4236, 39, 19, 40, 41offval2 6111 . . 3
4333, 42, 413eqtr4d 2338 . 2
4412, 43eqtrd 2328 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  cvv 2801  cif 3578   cmpt 4093  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  cc 8751  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758  cn 9762  cbs 13164   cplusg 13224   MndHom cmhm 14429  mulGrpcmgp 15341  Unitcui 15437  ℂfldccnfld 16393  ℤ/nℤczn 16470  DChrcdchr 20487 This theorem is referenced by:  dchrabl  20509  dchr1  20512 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zn 16474  df-dchr 20488
 Copyright terms: Public domain W3C validator