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Theorem dchrmusumlema 20642
Description: Lemma for dchrmusum 20673 and dchrisumn0 20670. Apply dchrisum 20641 for the function  1  /  y. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 oveq2 5866 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  x ) )
10 1nn 9757 . . . 4  |-  1  e.  NN
1110a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
12 rpreccl 10377 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1312adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1413rpred 10390 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15 simp3r 984 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
16 rpregt0 10367 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
17 rpregt0 10367 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
18 lerec 9638 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )  -> 
( n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_  ( 1  /  n ) ) )
1916, 17, 18syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_ 
( 1  /  n
) ) )
20193ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( 1  /  x
)  <_  ( 1  /  n ) ) )
2115, 20mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  /  x )  <_  (
1  /  n ) )
22 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
23 divrcnv 12311 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n ) )  ~~> r  0 )
2422, 23mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n
) )  ~~> r  0 )
25 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
2625fveq2d 5529 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
27 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  a )  =  ( 1  /  n ) )
2826, 27oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
2928cbvmptv 4111 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 29dchrisum 20641 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
317adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
32 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
344, 1, 5, 2, 31, 33dchrzrhcl 20484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
35 nncn 9754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
37 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
3934, 36, 38divrecd 9539 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) )
4039mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) ) )
41 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
42 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
4326, 42oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4443cbvmptv 4111 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4541, 44eqtri 2303 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )
4640, 45, 293eqtr4g 2340 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) )
4746adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )
4847seqeq3d 11054 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) )
4948breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t ) )
50 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
5150fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )
5352fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
54 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  y )  =  ( c  /  x ) )
5553, 54breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
) ) )
5655cbvralv 2764 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
)  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
) )
5746seqeq3d 11054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) )
5857fveq1d 5527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
5958oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
6059fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) ) )
6160ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) ) )
62 elrege0 10746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
6362simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  c  e.  RR )
6463recnd 8861 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  c  e.  CC )
6564ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  c  e.  CC )
66 1re 8837 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
67 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
6968simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
7069adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7170recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
72 0re 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
7372a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  e.  RR )
7466a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
75 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
7675a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  1 )
7768simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
7973, 74, 70, 76, 78ltletrd 8976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  x )
8079gt0ne0d 9337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
8165, 71, 80divrecd 9539 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
c  /  x )  =  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) )
8261, 81breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8382ralbidva 2559 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8456, 83syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8549, 84anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) )
8685rexbidva 2560 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) )
8786exbidv 1612 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) )
8830, 87mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   [,)cico 10658   |_cfl 10924    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958    ~~> r crli 11959   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20661  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem3  20668  dchrmusum  20673  dchrvmasum  20674
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dchr 20472
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