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Theorem dchrmusumlema 20658
Description: Lemma for dchrmusum 20689 and dchrisumn0 20686. Apply dchrisum 20657 for the function  1  /  y. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrisumn0.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
Assertion
Ref Expression
dchrmusumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrmusumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 oveq2 5882 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  /  x ) )
10 1nn 9773 . . . 4  |-  1  e.  NN
1110a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
12 rpreccl 10393 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1312adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
1413rpred 10406 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15 simp3r 984 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
16 rpregt0 10383 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <  n ) )
17 rpregt0 10383 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
18 lerec 9654 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  0  <  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  0  < 
x ) )  -> 
( n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_  ( 1  /  n ) ) )
1916, 17, 18syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  <_  x  <->  ( 1  /  x )  <_ 
( 1  /  n
) ) )
20193ad2ant2 977 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( 1  /  x
)  <_  ( 1  /  n ) ) )
2115, 20mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
1  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( 1  /  x )  <_  (
1  /  n ) )
22 ax-1cn 8811 . . . 4  |-  1  e.  CC
23 divrcnv 12327 . . . 4  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n ) )  ~~> r  0 )
2422, 23mp1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( 1  /  n
) )  ~~> r  0 )
25 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
2625fveq2d 5545 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
27 oveq2 5882 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
1  /  a )  =  ( 1  /  n ) )
2826, 27oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
2928cbvmptv 4127 . . 3  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n
) ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 14, 21, 24, 29dchrisum 20657 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
317adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  X  e.  D )
32 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  ZZ )
344, 1, 5, 2, 31, 33dchrzrhcl 20500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  n ) )  e.  CC )
35 nncn 9770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3635adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  e.  CC )
37 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  ->  n  =/=  0 )
3837adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  n  =/=  0 )
3934, 36, 38divrecd 9555 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  /  n )  =  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) )
4039mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( 1  /  n ) ) ) )
41 dchrisumn0.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
42 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
4326, 42oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4443cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  /  a ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n ) )
4541, 44eqtri 2316 . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n ) )
4640, 45, 293eqtr4g 2353 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) )
4746adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )
4847seqeq3d 11070 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) )
4948breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  <->  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t ) )
50 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( |_ `  y )  =  ( |_ `  x
) )
5150fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) ) )
5251oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )
5352fveq2d 5545 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) ) )
54 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
c  /  y )  =  ( c  /  x ) )
5553, 54breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
) ) )
5655cbvralv 2777 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
)  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
) )
5746seqeq3d 11070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  =  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) ) )
5857fveq1d 5543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) ) )
5958oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )
6059fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) ) )
6160ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) ) )
62 elrege0 10762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( c  e.  RR  /\  0  <_ 
c ) )
6362simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  c  e.  RR )
6463recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  c  e.  CC )
6564ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  c  e.  CC )
66 1re 8853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
67 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 1 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) ) )
6866, 67ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  1  <_  x ) )
6968simplbi 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
7069adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  RR )
7170recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  e.  CC )
72 0re 8854 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
7372a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  e.  RR )
7466a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
75 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  1
7675a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  1 )
7768simprbi 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 1 [,) 
+oo )  ->  1  <_  x )
7877adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  1  <_  x )
7973, 74, 70, 76, 78ltletrd 8992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  0  <  x )
8079gt0ne0d 9353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  x  =/=  0 )
8165, 71, 80divrecd 9555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
c  /  x )  =  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) )
8261, 81breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  /\  x  e.  ( 1 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  x
)  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8382ralbidva 2572 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. x  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  x )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8456, 83syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  ( A. y  e.  (
1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_  ( c  /  y )  <->  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) )
8549, 84anbi12d 691 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  c  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  <->  (  seq  1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) )
8685rexbidva 2573 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a )
)  x.  ( 1  /  a ) ) ) ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) )
8786exbidv 1616 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `
 ( L `  a ) )  x.  ( 1  /  a
) ) ) )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( 1  / 
a ) ) ) ) `  ( |_
`  x ) )  -  t ) )  <_  ( c  x.  ( 1  /  x
) ) ) ) )
8830, 87mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  /  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   RR+crp 10370   [,)cico 10674   |_cfl 10940    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974    ~~> r crli 11975   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20677  dchrisum0re  20678  dchrisum0lem3  20684  dchrmusum  20689  dchrvmasum  20690
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-phi 12850  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dchr 20488
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