MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrplusg Structured version   Unicode version

Theorem dchrplusg 21031
Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmul.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrplusg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchrplusg  |-  ( ph  ->  .x.  =  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) ) )

Proof of Theorem dchrplusg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2436 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
4 eqid 2436 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
5 dchrplusg.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrmhm.b . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrbas 21019 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  { x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  |  ( ( ( Base `  Z
)  \  (Unit `  Z
) )  X.  {
0 } )  C_  x } )
81, 2, 3, 4, 5, 7dchrval 21018 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  D >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D
) ) >. } )
98fveq2d 5732 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. } ) )
10 dchrmul.t . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
11 fvex 5742 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
126, 11eqeltri 2506 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1312, 12xpex 4990 . . 3  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
14 ofexg 6309 . . 3  |-  ( ( D  X.  D )  e.  _V  ->  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  e.  _V )
15 eqid 2436 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  D >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. }
1615grpplusg 13570 . . 3  |-  ( (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  e.  _V  ->  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. } ) )
1713, 14, 16mp2b 10 . 2  |-  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. } )
189, 10, 173eqtr4g 2493 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   {cpr 3815   <.cop 3817    X. cxp 4876    |` cres 4880   ` cfv 5454    o Fcof 6303    x. cmul 8995   NNcn 10000   ndxcnx 13466   Basecbs 13469   +g cplusg 13529  Unitcui 15744  ℤ/nczn 16781  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrmul  21032
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-dchr 21017
  Copyright terms: Public domain W3C validator