MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrplusg Unicode version

Theorem dchrplusg 20486
Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrmul.t  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
dchrplusg.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
dchrplusg  |-  ( ph  ->  .x.  =  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) ) )

Proof of Theorem dchrplusg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrmhm.g . . . 4  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrmhm.z . . . 4  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
4 eqid 2283 . . . 4  |-  (Unit `  Z )  =  (Unit `  Z )
5 dchrplusg.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrmhm.b . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
71, 2, 3, 4, 5, 6dchrbas 20474 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  { x  e.  ( (mulGrp `  Z
) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  |  ( ( ( Base `  Z
)  \  (Unit `  Z
) )  X.  {
0 } )  C_  x } )
81, 2, 3, 4, 5, 7dchrval 20473 . . 3  |-  ( ph  ->  G  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  D >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D
) ) >. } )
98fveq2d 5529 . 2  |-  ( ph  ->  ( +g  `  G
)  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. } ) )
10 dchrmul.t . 2  |-  .x.  =  ( +g  `  G )
11 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
126, 11eqeltri 2353 . . . 4  |-  D  e. 
_V
1312, 12xpex 4801 . . 3  |-  ( D  X.  D )  e. 
_V
14 ofexg 6082 . . 3  |-  ( ( D  X.  D )  e.  _V  ->  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  e.  _V )
15 eqid 2283 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  D >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. }
1615grpplusg 13249 . . 3  |-  ( (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  e.  _V  ->  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. } ) )
1713, 14, 16mp2b 9 . 2  |-  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  D >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) )
>. } )
189, 10, 173eqtr4g 2340 1  |-  ( ph  ->  .x.  =  (  o F  x.  |`  ( D  X.  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788   {cpr 3641   <.cop 3643    X. cxp 4687    |` cres 4691   ` cfv 5255    o Fcof 6076    x. cmul 8742   NNcn 9746   ndxcnx 13145   Basecbs 13148   +g cplusg 13208  Unitcui 15421  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrmul  20487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator