Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrpt Structured version   Unicode version

Theorem dchrpt 21053
 Description: For any element other than 1, there is a Dirichlet character that is not one at the given element. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g DChr
dchrpt.z ℤ/n
dchrpt.d
dchrpt.b
dchrpt.1
dchrpt.n
dchrpt.n1
dchrpt.a
Assertion
Ref Expression
dchrpt
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem dchrpt
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5 Unit Unit
2 eqid 2438 . . . . 5 mulGrps Unit mulGrps Unit
31, 2unitgrpbas 15773 . . . 4 Unit mulGrps Unit
4 eqid 2438 . . . 4 SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp
5 dchrpt.n . . . . . . 7
65nnnn0d 10276 . . . . . 6
7 dchrpt.z . . . . . . 7 ℤ/n
87zncrng 16827 . . . . . 6
91, 2unitabl 15775 . . . . . 6 mulGrps Unit
106, 8, 93syl 19 . . . . 5 mulGrps Unit
1110adantr 453 . . . 4 Unit mulGrps Unit
12 dchrpt.b . . . . . . . 8
137, 12znfi 16842 . . . . . . 7
145, 13syl 16 . . . . . 6
1512, 1unitss 15767 . . . . . 6 Unit
16 ssfi 7331 . . . . . 6 Unit Unit
1714, 15, 16sylancl 645 . . . . 5 Unit
1817adantr 453 . . . 4 Unit Unit
19 eqid 2438 . . . 4 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
20 eqid 2438 . . . 4 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
213, 4, 11, 18, 19, 20ablfac2 15649 . . 3 Unit Word Unit .gmulGrps Unit SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
22 dchrpt.g . . . . . . 7 DChr
23 dchrpt.d . . . . . . 7
24 dchrpt.1 . . . . . . 7
255ad3antrrr 712 . . . . . . 7 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
26 dchrpt.n1 . . . . . . . 8
2726ad3antrrr 712 . . . . . . 7 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
28 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
2928cbvmptv 4302 . . . . . . . . . 10 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
30 fveq2 5730 . . . . . . . . . . . 12
3130oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
3231mpteq2dv 4298 . . . . . . . . . 10 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
3329, 32syl5eq 2482 . . . . . . . . 9 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
3433rneqd 5099 . . . . . . . 8 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
3534cbvmptv 4302 . . . . . . 7 .gmulGrps Unit .gmulGrps Unit
36 simpllr 737 . . . . . . 7 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit Unit
37 simplr 733 . . . . . . 7 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit Word Unit
38 simprl 734 . . . . . . 7 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit
39 simprr 735 . . . . . . 7 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
4022, 7, 23, 12, 24, 25, 27, 1, 2, 19, 35, 36, 37, 38, 39dchrptlem3 21052 . . . . . 6 Unit Word Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
41403adantr1 1117 . . . . 5 Unit Word Unit .gmulGrps Unit SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
4241ex 425 . . . 4 Unit Word Unit .gmulGrps Unit SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
4342rexlimdva 2832 . . 3 Unit Word Unit .gmulGrps Unit SubGrpmulGrps Unit mulGrps Units CycGrp pGrp mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit mulGrps Unit DProd .gmulGrps Unit Unit
4421, 43mpd 15 . 2 Unit
4522dchrabl 21040 . . . . 5
46 ablgrp 15419 . . . . 5
47 eqid 2438 . . . . . 6
4823, 47grpidcl 14835 . . . . 5
495, 45, 46, 484syl 20 . . . 4
5049adantr 453 . . 3 Unit
51 ax-1ne0 9061 . . . . 5
5251necomi 2688 . . . 4
53 dchrpt.a . . . . . . . 8
5422, 7, 23, 12, 1, 49, 53dchrn0 21036 . . . . . . 7 Unit
5554necon1bbid 2660 . . . . . 6 Unit
5655biimpa 472 . . . . 5 Unit
5756neeq1d 2616 . . . 4 Unit
5852, 57mpbiri 226 . . 3 Unit
59 fveq1 5729 . . . . 5
6059neeq1d 2616 . . . 4
6160rspcev 3054 . . 3
6250, 58, 61syl2anc 644 . 2 Unit
6344, 62pm2.61dan 768 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708  crab 2711   cin 3321   wss 3322   class class class wbr 4214   cmpt 4268   cdm 4880   crn 4881  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111  cc0 8992  c1 8993  cn 10002  cn0 10223  cz 10284  Word cword 11719  cbs 13471   ↾s cress 13472  c0g 13725  cgrp 14687  .gcmg 14691  SubGrpcsubg 14940   pGrp cpgp 15167  cabel 15415  CycGrpccyg 15489   DProd cdprd 15556  mulGrpcmgp 15650  ccrg 15663  cur 15664  Unitcui 15746  ℤ/nℤczn 16783  DChrcdchr 21018 This theorem is referenced by:  sumdchr2  21056 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-rpss 6524  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-word 11725  df-concat 11726  df-s1 11727  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-divs 13737  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-nsg 14944  df-eqg 14945  df-ghm 15006  df-gim 15048  df-ga 15069  df-cntz 15118  df-oppg 15144  df-od 15169  df-gex 15170  df-pgp 15171  df-lsm 15272  df-pj1 15273  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-cyg 15490  df-dprd 15558  df-dpj 15559  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-rnghom 15821  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-sra 16246  df-rgmod 16247  df-lidl 16248  df-rsp 16249  df-2idl 16305  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-zrh 16784  df-zn 16787  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-cxp 20457  df-dchr 21019
 Copyright terms: Public domain W3C validator