MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem1 Unicode version

Theorem dchrptlem1 20519
Description: Lemma for dchrpt 20522. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Distinct variable groups:    h, k, m, n,  .1.    u, h, A, k, m, n   
h, I, k, m, u    C, h, m, u   
h, H, k, m, n, u    h, W, k, m, n, u    .x. , h, k, m, n, u    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u    h, Z, k, m, n, u    h, M, m    ph, h, k, m, n    T, h, m, u    U, h, m, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    C( k, n)    D( u, h, k, m, n)    P( k, n)    T( k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( n)    M( u, k, n)    N( u, h, k, m, n)    O( u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  C  ->  (
( P `  I
) `  u )  =  ( ( P `
 I ) `  C ) )
21eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
32anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
43rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( u  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
54iotabidv 5256 . . . 4  |-  ( u  =  C  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
6 dchrpt.5 . . . 4  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
7 iotaex 5252 . . . 4  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt3i 5621 . . 3  |-  ( C  e.  U  ->  ( X `  C )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
98ad2antlr 707 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10 ovex 5899 . . 3  |-  ( T ^ M )  e. 
_V
11 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) )
12 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )
1312simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) )
1411, 13eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )
15 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ph )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ph )
17 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1812simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
19 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
21 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2221zncrng 16514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
23 crngrng 15367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
2420, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
25 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  =  (Unit `  Z )
26 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
2725, 26unitgrp 15465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
2824, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  H  e.  Grp )
30 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
31 wrdf 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
33 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
34 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3633, 35eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
37 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
3832, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
4225, 26unitgrpbas 15464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  =  ( Base `  H
)
43 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  H
)
44 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  (.g
`  H )
45 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
4642, 43, 44, 45odcong 14880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M
)  <->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
4729, 39, 40, 41, 46syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  <->  ( m  .x.  ( W `  I
) )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
48 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
49 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
50 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
51 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5221, 51znfi 16529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
5319, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
5451, 25unitss 15458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U  C_  B
55 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
5653, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5742, 43odcl2 14894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
5828, 56, 38, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
60 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
6150, 59, 60sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
6261recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
63 cxpcl 20037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6449, 62, 63sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6548, 64syl5eqel 2380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  e.  CC )
6649a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  e.  CC )
67 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
68 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
6967, 68negne0i 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
7166, 70, 62cxpne0d 20076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
7248neeq1i 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
7371, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  =/=  0 )
74 zsubcl 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  -  M
)  e.  ZZ )
7574ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( m  -  M )  e.  ZZ )
7641adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
77 expaddz 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( ( m  -  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
( m  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7865, 73, 75, 76, 77syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( ( T ^
( m  -  M
) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7940adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  ZZ )
8079zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  CC )
8176zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  CC )
8280, 81npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( (
m  -  M )  +  M )  =  m )
8382oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( T ^ m
) )
8448oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
( m  -  M
) )
85 root1eq1 20111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  ( m  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8658, 74, 85syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8786biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8884, 87syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8988oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( 1  x.  ( T ^ M ) ) )
9065, 73, 76expclzd 11266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ M )  e.  CC )
9190mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^ M ) )  =  ( T ^ M
) )
9289, 91eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( T ^ M ) )
9378, 83, 923eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
9493ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9547, 94sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9616, 17, 18, 95syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( m 
.x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) ) )
9714, 96mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( T ^
m )  =  ( T ^ M ) )
9897eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9998biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
10099expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
101100rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
102 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) )
103102eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
104 oveq2 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
105104eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
h  =  ( T ^ m )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
106103, 105anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ M ) ) ) )
107106rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ M ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )
108107expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ M
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
109108adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( h  =  ( T ^ M )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
110101, 109impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
111110adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
112111iota5 5255 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
11310, 112mpan2 652 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
1149, 113eqtrd 2328 1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   iotacio 5233   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ..^cfzo 10886   ^cexp 11120   #chash 11353  Word cword 11419    || cdivides 12547   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382   odcod 14856   DProd cdprd 15247  dProjcdpj 15248  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  Unitcui 15437  ℤ/nczn 16470    ^ c ccxp 19929  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  20520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-word 11425  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-od 14860  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931
  Copyright terms: Public domain W3C validator