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Theorem dchrptlem1 20503
Description: Lemma for dchrpt 20506. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Distinct variable groups:    h, k, m, n,  .1.    u, h, A, k, m, n   
h, I, k, m, u    C, h, m, u   
h, H, k, m, n, u    h, W, k, m, n, u    .x. , h, k, m, n, u    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u    h, Z, k, m, n, u    h, M, m    ph, h, k, m, n    T, h, m, u    U, h, m, u
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    C( k, n)    D( u, h, k, m, n)    P( k, n)    T( k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( n)    M( u, k, n)    N( u, h, k, m, n)    O( u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem1
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  C  ->  (
( P `  I
) `  u )  =  ( ( P `
 I ) `  C ) )
21eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
32anbi1d 685 . . . . . 6  |-  ( u  =  C  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
43rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( u  =  C  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  u )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
54iotabidv 5240 . . . 4  |-  ( u  =  C  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
6 dchrpt.5 . . . 4  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
7 iotaex 5236 . . . 4  |-  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 u )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  e.  _V
85, 6, 7fvmpt3i 5605 . . 3  |-  ( C  e.  U  ->  ( X `  C )  =  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
98ad2antlr 707 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( iota
h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
10 ovex 5883 . . 3  |-  ( T ^ M )  e. 
_V
11 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) ) )
12 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )
1312simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) )
1411, 13eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )
15 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  ph )
1615adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ph )
17 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
1812simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
19 dchrpt.n . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2019nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
21 dchrpt.z . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2221zncrng 16498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
23 crngrng 15351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
2420, 22, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
25 dchrpt.u . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U  =  (Unit `  Z )
26 dchrpt.h . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
2725, 26unitgrp 15449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
2824, 27syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
2928adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  H  e.  Grp )
30 dchrpt.w . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
31 wrdf 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
33 dchrpt.i . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
34 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
3532, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
3633, 35eleqtrd 2359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
37 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
3832, 36, 37syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
40 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  m  e.  ZZ )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  ->  M  e.  ZZ )
4225, 26unitgrpbas 15448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  =  ( Base `  H
)
43 dchrpt.o . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  O  =  ( od `  H
)
44 dchrpt.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  .x.  =  (.g
`  H )
45 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
4642, 43, 44, 45odcong 14864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M
)  <->  ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
4729, 39, 40, 41, 46syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  <->  ( m  .x.  ( W `  I
) )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
48 dchrpt.t . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
49 neg1cn 9813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u 1  e.  CC
50 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
51 dchrpt.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  B  =  ( Base `  Z
)
5221, 51znfi 16513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
5319, 52syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
5451, 25unitss 15442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U  C_  B
55 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
5653, 54, 55sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
5742, 43odcl2 14878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
5828, 56, 38, 57syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
5958ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
60 nndivre 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
6150, 59, 60sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
6261recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
63 cxpcl 20021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6449, 62, 63sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
6548, 64syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  e.  CC )
6649a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  e.  CC )
67 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  CC
68 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  =/=  0
6967, 68negne0i 9121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u 1  =/=  0
7069a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
7166, 70, 62cxpne0d 20060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
7248neeq1i 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
7371, 72sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  T  =/=  0 )
74 zsubcl 10061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( m  -  M
)  e.  ZZ )
7574ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( m  -  M )  e.  ZZ )
7641adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  ZZ )
77 expaddz 11146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( ( m  -  M )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
( m  -  M
)  +  M ) )  =  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7865, 73, 75, 76, 77syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( ( T ^
( m  -  M
) )  x.  ( T ^ M ) ) )
7940adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  ZZ )
8079zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  m  e.  CC )
8176zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  M  e.  CC )
8280, 81npcand 9161 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( (
m  -  M )  +  M )  =  m )
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( ( m  -  M )  +  M ) )  =  ( T ^ m
) )
8448oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
( m  -  M
) )
85 root1eq1 20095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  ( m  -  M
)  e.  ZZ )  ->  ( ( (
-u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8658, 74, 85syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) ) )
8786biimpar 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8884, 87syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ ( m  -  M ) )  =  1 )
8988oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( 1  x.  ( T ^ M ) ) )
9065, 73, 76expclzd 11250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ M )  e.  CC )
9190mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^ M ) )  =  ( T ^ M
) )
9289, 91eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( ( T ^ ( m  -  M ) )  x.  ( T ^ M
) )  =  ( T ^ M ) )
9378, 83, 923eqtr3d 2323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)  /\  ( O `  ( W `  I
) )  ||  (
m  -  M ) )  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
9493ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( O `  ( W `  I ) )  ||  ( m  -  M )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9547, 94sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )  -> 
( ( m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( T ^ m
)  =  ( T ^ M ) ) )
9616, 17, 18, 95syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( ( m 
.x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) ) )
9714, 96mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( T ^
m )  =  ( T ^ M ) )
9897eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
9998biimpd 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) ) )  /\  m  e.  ZZ )  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ m
)  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
10099expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
101100rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  ->  h  =  ( T ^ M ) ) )
102 oveq1 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  (
m  .x.  ( W `  I ) )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
) )
103102eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( P `  I ) `  C
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
104 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( T ^ m )  =  ( T ^ M
) )
105104eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (
h  =  ( T ^ m )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
106103, 105anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( M  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ M ) ) ) )
107106rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ M ) ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )
108107expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) )  ->  ( h  =  ( T ^ M
)  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
109108adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( h  =  ( T ^ M )  ->  E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
110101, 109impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
111110adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `
 I ) `  C )  =  ( m  .x.  ( W `
 I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) )  <->  h  =  ( T ^ M ) ) )
112111iota5 5239 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  C
)  =  ( M 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  /\  ( T ^ M )  e. 
_V )  ->  ( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
11310, 112mpan2 652 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( iota h E. m  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 C )  =  ( m  .x.  ( W `  I )
)  /\  h  =  ( T ^ m ) ) )  =  ( T ^ M ) )
1149, 113eqtrd 2315 1  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  U )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  (
( P `  I
) `  C )  =  ( M  .x.  ( W `  I ) ) ) )  -> 
( X `  C
)  =  ( T ^ M ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   dom cdm 4689   ran crn 4690   iotacio 5217   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ..^cfzo 10870   ^cexp 11104   #chash 11337  Word cword 11403    || cdivides 12531   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366   odcod 14840   DProd cdprd 15231  dProjcdpj 15232  mulGrpcmgp 15325   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   1rcur 15339  Unitcui 15421  ℤ/nczn 16454    ^ c ccxp 19913  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrptlem2  20504
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-word 11409  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-od 14844  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915
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