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Theorem dchrptlem2 21041
Description: Lemma for dchrpt 21043. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Distinct variable groups:    h, k, m, n, x,  .1.    u, h, A, k, m, n, x    h, I, k, m, u    x, B   
x, G    h, H, k, m, n, u, x   
x, N    h, W, k, m, n, u, x    .x. , h, k, m, n, u, x    x, X    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u, x    h, Z, k, m, n, u, x   
x, D    ph, h, k, m, n, x    T, h, m, u    U, h, m, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    D( u, h, k, m, n)    P( x, k, n)    T( x, k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( x, n)    N( u, h, k, m, n)    O( x, u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables  a 
b  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrpt.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrpt.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrpt.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrpt.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 fveq2 5720 . . 3  |-  ( v  =  x  ->  ( X `  v )  =  ( X `  x ) )
8 fveq2 5720 . . 3  |-  ( v  =  y  ->  ( X `  v )  =  ( X `  y ) )
9 fveq2 5720 . . 3  |-  ( v  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  v )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
10 fveq2 5720 . . 3  |-  ( v  =  ( 1r `  Z )  ->  ( X `  v )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
12 zex 10283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
1312mptex 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  e.  _V
1413rnex 5125 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  e.  _V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
1614, 15dmmpti 5566 . . . . . . . . . 10  |-  dom  S  =  dom  W
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  =  dom  W )
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( HdProj S )
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
2011, 17, 18, 19dpjf 15607 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  I
) : ( H DProd 
S ) --> ( S `
 I ) )
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
2221feq2d 5573 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) : ( H DProd  S ) --> ( S `  I )  <-> 
( P `  I
) : U --> ( S `
 I ) ) )
2320, 22mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P `  I
) : U --> ( S `
 I ) )
2423ffvelrnda 5862 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  v )  e.  ( S `  I
) )
2519adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  I  e.  dom  W )
26 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  a  ->  (
n  .x.  ( W `  k ) )  =  ( a  .x.  ( W `  k )
) )
2726cbvmptv 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  k ) ) )
28 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( W `  k )  =  ( W `  I ) )
2928oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  (
a  .x.  ( W `  k ) )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
) )
3029mpteq2dv 4288 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
3127, 30syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
3231rneqd 5089 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ran  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
3332, 15, 14fvmpt3i 5801 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  dom  W  -> 
( S `  I
)  =  ran  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
3425, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( S `  I )  =  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) ) )
3524, 34eleqtrd 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  v )  e.  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) ) )
36 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) )
37 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  e. 
_V
3836, 37elrnmpti 5113 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  I
) `  v )  e.  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  v )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
3935, 38sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  v )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
40 dchrpt.1 . . . . . 6  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
41 dchrpt.n1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
42 dchrpt.h . . . . . 6  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
43 dchrpt.m . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  H )
44 dchrpt.au . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
45 dchrpt.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
46 dchrpt.o . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  H
)
47 dchrpt.t . . . . . 6  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
48 dchrpt.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
49 dchrpt.5 . . . . . 6  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
501, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21040 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  v )  =  ( T ^ a ) )
51 neg1cn 10059 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
52 2re 10061 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
535nnnn0d 10266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
542zncrng 16817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
55 crngrng 15666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
5653, 54, 553syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
574, 42unitgrp 15764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
5856, 57syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
592, 3znfi 16832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
605, 59syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
613, 4unitss 15757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  C_  B
62 ssfi 7321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
6360, 61, 62sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
64 wrdf 11725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
6545, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
66 fdm 5587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6819, 67eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6965, 68ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
704, 42unitgrpbas 15763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  =  ( Base `  H
)
7170, 46odcl2 15193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
7258, 63, 69, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
73 nndivre 10027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
7452, 72, 73sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
7574recnd 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
76 cxpcl 20557 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
7751, 75, 76sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )  e.  CC )
7847, 77syl5eqel 2519 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
7978ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
8051a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
81 ax-1cn 9040 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
82 ax-1ne0 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  0
8381, 82negne0i 9367 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  =/=  0
8483a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u 1  =/=  0
)
8580, 84, 75cxpne0d 20596 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )  =/=  0 )
8647neeq1i 2608 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
8785, 86sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
8887ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
89 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
9079, 88, 89expclzd 11520 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( T ^ a )  e.  CC )
9150, 90eqeltrd 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  v )  e.  CC )
9239, 91rexlimddv 2826 . . 3  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( X `  v )  e.  CC )
93 simprl 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
9439ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
9594adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
96 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  x ) )
9796eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
9897rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
9998rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( x  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
10093, 95, 99sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
101 simprr 734 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
102 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  y ) )
103102eqeq1d 2443 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
104103rexbidv 2718 . . . . . . 7  |-  ( v  =  y  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
105 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  .x.  ( W `  I ) )  =  ( b  .x.  ( W `  I )
) )
106105eqeq2d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( P `  I ) `  y
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
107106cbvrexv 2925 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ZZ  (
( P `  I
) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `  I ) )  <->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
108104, 107syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
109108rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( y  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
110101, 95, 109sylc 58 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
111 reeanv 2867 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  /\  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )  <-> 
( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
11278ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
11387ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
114 simprll 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
a  e.  ZZ )
115 simprlr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
116 expaddz 11416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
a  +  b ) )  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
117112, 113, 114, 115, 116syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( T ^ (
a  +  b ) )  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
118 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  ph )
11956ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  Z  e.  Ring )
12093adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  x  e.  U )
121101adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
122 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
1234, 122unitmulcl 15761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U )
124119, 120, 121, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U )
125114, 115zaddcld 10371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( a  +  b )  e.  ZZ )
126 simprrl 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
127 simprrr 742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
128126, 127oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( ( P `
 I ) `  x ) ( .r
`  Z ) ( ( P `  I
) `  y )
)  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
12911, 17, 18, 19dpjghm 15613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P `  I
)  e.  ( ( Hs  ( H DProd  S ) )  GrpHom  H ) )
13021oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Hs  ( H DProd  S
) )  =  ( Hs  U ) )
131 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  _V
13242, 131eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  e. 
_V
13370ressid 13516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  _V  ->  ( Hs  U )  =  H )
134132, 133ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Hs  U )  =  H
135130, 134syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Hs  ( H DProd  S
) )  =  H )
136135oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Hs  ( H DProd 
S ) )  GrpHom  H )  =  ( H 
GrpHom  H ) )
137129, 136eleqtrd 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H ) )
138137ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H ) )
139 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  Z )  e.  _V
1404, 139eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  e. 
_V
141 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
142141, 122mgpplusg 15644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
14342, 142ressplusg 13563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  _V  ->  ( .r `  Z )  =  ( +g  `  H
) )
144140, 143ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  H
)
14570, 144, 144ghmlin 15003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H )  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( ( P `  I ) `
 x ) ( .r `  Z ) ( ( P `  I ) `  y
) ) )
146138, 120, 121, 145syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( ( P `  I
) `  x )
( .r `  Z
) ( ( P `
 I ) `  y ) ) )
14758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  H  e.  Grp )
14869ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
14970, 43, 144mulgdir 14907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  ( W `  I )  e.  U ) )  ->  ( ( a  +  b )  .x.  ( W `  I ) )  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
150147, 114, 115, 148, 149syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( a  +  b )  .x.  ( W `  I )
)  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
151128, 146, 1503eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( a  +  b ) 
.x.  ( W `  I ) ) )
1521, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U )  /\  ( ( a  +  b )  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( a  +  b ) 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( T ^ ( a  +  b ) ) )
153118, 124, 125, 151, 152syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( T ^ ( a  +  b ) ) )
1541, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  ( T ^ a ) )
155118, 120, 114, 126, 154syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  x
)  =  ( T ^ a ) )
1561, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  U )  /\  (
b  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  y )  =  ( T ^ b ) )
157118, 121, 115, 127, 156syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  y
)  =  ( T ^ b ) )
158155, 157oveq12d 6091 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
159117, 153, 1583eqtr4d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
160159expr 599 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( P `  I ) `
 x )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
)  /\  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
161160rexlimdvva 2829 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 x )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
)  /\  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
162111, 161syl5bir 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
163100, 110, 162mp2and 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
164 id 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ph )
165 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
1664, 1651unit 15755 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
16756, 166syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  U )
168 0z 10285 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
169168a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
170 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
171170, 170ghmid 15004 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  I )  e.  ( H  GrpHom  H )  ->  ( ( P `  I ) `  ( 0g `  H
) )  =  ( 0g `  H ) )
172137, 171syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 0g `  H ) )  =  ( 0g `  H ) )
1734, 42, 165unitgrpid 15766 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  H
) )
17456, 173syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  H ) )
175174fveq2d 5724 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( P `
 I ) `  ( 0g `  H ) ) )
17670, 170, 43mulg0 14887 . . . . . . 7  |-  ( ( W `  I )  e.  U  ->  (
0  .x.  ( W `  I ) )  =  ( 0g `  H
) )
17769, 176syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  .x.  ( W `  I )
)  =  ( 0g
`  H ) )
178172, 175, 1773eqtr4d 2477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( 0  .x.  ( W `  I
) ) )
1791, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21040 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( 1r `  Z )  e.  U )  /\  (
0  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( 0  .x.  ( W `  I
) ) ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  ( T ^ 0 ) )
180164, 167, 169, 178, 179syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  ( T ^
0 ) )
18178exp0d 11509 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  =  1 )
182180, 181eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
1831, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 92, 163, 182dchrelbasd 21015 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) )  e.  D )
18461, 44sseldi 3338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
185 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  (
v  e.  U  <->  A  e.  U ) )
186 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  ( X `  v )  =  ( X `  A ) )
187 eqidd 2436 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  0  =  0 )
188185, 186, 187ifbieq12d 3753 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 )  =  if ( A  e.  U , 
( X `  A
) ,  0 ) )
189 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) )  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) )
190 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( X `
 v )  e. 
_V
191 c0ex 9077 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
192190, 191ifex 3789 . . . . . 6  |-  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 )  e.  _V
193188, 189, 192fvmpt3i 5801 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) ) `  A )  =  if ( A  e.  U ,  ( X `  A ) ,  0 ) )
194184, 193syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =  if ( A  e.  U ,  ( X `
 A ) ,  0 ) )
195 iftrue 3737 . . . . 5  |-  ( A  e.  U  ->  if ( A  e.  U ,  ( X `  A ) ,  0 )  =  ( X `
 A ) )
19644, 195syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  U ,  ( X `
 A ) ,  0 )  =  ( X `  A ) )
197194, 196eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
198 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  A  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  A ) )
199198eqeq1d 2443 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
200199rexbidv 2718 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
201200rspcv 3040 . . . . 5  |-  ( A  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
20244, 94, 201sylc 58 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
2031, 2, 6, 3, 40, 5, 41, 4, 42, 43, 15, 44, 45, 11, 21, 18, 46, 47, 19, 48, 49dchrptlem1 21040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =  ( T ^ a ) )
20447oveq1i 6083 . . . . . . . 8  |-  ( T ^ a )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
a )
205203, 204syl6eq 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) ) ^
a ) )
20648ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( P `  I ) `  A )  =/=  .1.  )
20758ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  H  e.  Grp )
20869ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( W `  I )  e.  U
)
209 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
21070, 46, 43, 170oddvds 15177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( W `  I )
)  ||  a  <->  ( a  .x.  ( W `  I
) )  =  ( 0g `  H ) ) )
211207, 208, 209, 210syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  a 
<->  ( a  .x.  ( W `  I )
)  =  ( 0g
`  H ) ) )
21272ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
213 root1eq1 20631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  a
) )
214212, 209, 213syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  a
) )
215 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( P `  I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
21640, 174syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 0g
`  H ) )
217216ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  .1.  =  ( 0g `  H ) )
218215, 217eqeq12d 2449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( P `  I
) `  A )  =  .1.  <->  ( a  .x.  ( W `  I ) )  =  ( 0g
`  H ) ) )
219211, 214, 2183bitr4d 277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =  .1.  ) )
220219necon3bid 2633 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =/=  1  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =/=  .1.  ) )
221206, 220mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =/=  1 )
222205, 221eqnetrd 2616 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =/=  1
)
223222rexlimdvaa 2823 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( X `  A
)  =/=  1 ) )
22444, 223mpdan 650 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  ->  ( X `  A )  =/=  1
) )
225202, 224mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  1 )
226197, 225eqnetrd 2616 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =/=  1 )
227 fveq1 5719 . . . 4  |-  ( x  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) )  ->  ( x `  A )  =  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) ) `  A ) )
228227neeq1d 2611 . . 3  |-  ( x  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) )  ->  ( ( x `
 A )  =/=  1  <->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) ) `  A )  =/=  1 ) )
229228rspcev 3044 . 2  |-  ( ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) )  e.  D  /\  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `  A
)  =/=  1 )  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
230183, 226, 229syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   dom cdm 4870   ran crn 4871   iotacio 5408   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   -ucneg 9284    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   NN0cn0 10213   ZZcz 10274  ..^cfzo 11127   ^cexp 11374   #chash 11610  Word cword 11709    || cdivides 12844   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677  .gcmg 14681    GrpHom cghm 14995   odcod 15155   DProd cdprd 15546  dProjcdpj 15547  mulGrpcmgp 15640   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   1rcur 15654  Unitcui 15736  ℤ/nczn 16773    ^ c ccxp 20445  DChrcdchr 21008
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  21042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-word 11715  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-divs 13727  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-gim 15038  df-cntz 15108  df-oppg 15134  df-od 15159  df-lsm 15262  df-pj1 15263  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-dprd 15548  df-dpj 15549  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-2idl 16295  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-zrh 16774  df-zn 16777  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447  df-dchr 21009
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