Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem2 Unicode version

Theorem dchrptlem2 20520
 Description: Lemma for dchrpt 20522. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g DChr
dchrpt.z ℤ/n
dchrpt.d
dchrpt.b
dchrpt.1
dchrpt.n
dchrpt.n1
dchrpt.u Unit
dchrpt.h mulGrps
dchrpt.m .g
dchrpt.s
dchrpt.au
dchrpt.w Word
dchrpt.2 DProd
dchrpt.3 DProd
dchrpt.p dProj
dchrpt.o
dchrpt.t
dchrpt.i
dchrpt.4
dchrpt.5
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,   ,   ,   ,,,,,,   ,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,   ,   ,,,,,   ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,,,)   (,,)   (,,)   (,)   ()   (,,,,)   (,)   (,,,,)   (,,,,,)   (,,,,)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3 DChr
2 dchrpt.z . . 3 ℤ/n
3 dchrpt.b . . 3
4 dchrpt.u . . 3 Unit
5 dchrpt.n . . 3
6 dchrpt.d . . 3
7 fveq2 5541 . . 3
8 fveq2 5541 . . 3
9 fveq2 5541 . . 3
10 fveq2 5541 . . 3
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9 DProd
12 zex 10049 . . . . . . . . . . . . 13
1312mptex 5762 . . . . . . . . . . . 12
1413rnex 4958 . . . . . . . . . . 11
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11
1614, 15dmmpti 5389 . . . . . . . . . 10
1716a1i 10 . . . . . . . . 9
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9 dProj
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9
2011, 17, 18, 19dpjf 15308 . . . . . . . 8 DProd
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9 DProd
2221feq2d 5396 . . . . . . . 8 DProd
2320, 22mpbid 201 . . . . . . 7
24 ffvelrn 5679 . . . . . . 7
2523, 24sylan 457 . . . . . 6
2619adantr 451 . . . . . . 7
27 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11
2827cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12
3029oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
3130mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10
3228, 31syl5eq 2340 . . . . . . . . 9
3332rneqd 4922 . . . . . . . 8
3433, 15, 14fvmpt3i 5621 . . . . . . 7
3526, 34syl 15 . . . . . 6
3625, 35eleqtrd 2372 . . . . 5
37 eqid 2296 . . . . . 6
38 ovex 5899 . . . . . 6
3937, 38elrnmpti 4946 . . . . 5
4036, 39sylib 188 . . . 4
41 dchrpt.1 . . . . . . . 8
42 dchrpt.n1 . . . . . . . 8
43 dchrpt.h . . . . . . . 8 mulGrps
44 dchrpt.m . . . . . . . 8 .g
45 dchrpt.au . . . . . . . 8
46 dchrpt.w . . . . . . . 8 Word
47 dchrpt.o . . . . . . . 8
48 dchrpt.t . . . . . . . 8
49 dchrpt.4 . . . . . . . 8
50 dchrpt.5 . . . . . . . 8
511, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . 7
52 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . 11
53 2re 9831 . . . . . . . . . . . . 13
545nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16
552zncrng 16514 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 crngrng 15367 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15
584, 43unitgrp 15465 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
602, 3znfi 16529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
615, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
623, 4unitss 15458 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . 15
6461, 62, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14
65 wrdf 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word ..^
6646, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
67 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ..^ ..^
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^
6919, 68eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^
70 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
7166, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
724, 43unitgrpbas 15464 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372, 47odcl2 14894 . . . . . . . . . . . . . 14
7459, 64, 71, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
75 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . . 13
7653, 74, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
7776recnd 8877 . . . . . . . . . . 11
78 cxpcl 20037 . . . . . . . . . . 11
7952, 77, 78sylancr 644 . . . . . . . . . 10
8048, 79syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9
8180ad2antrr 706 . . . . . . . 8
8252a1i 10 . . . . . . . . . . 11
83 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13
84 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . 13
8583, 84negne0i 9137 . . . . . . . . . . . 12
8685a1i 10 . . . . . . . . . . 11
8782, 86, 77cxpne0d 20076 . . . . . . . . . 10
8848neeq1i 2469 . . . . . . . . . 10
8987, 88sylibr 203 . . . . . . . . 9
9089ad2antrr 706 . . . . . . . 8
91 simprl 732 . . . . . . . 8
9281, 90, 91expclzd 11266 . . . . . . 7
9351, 92eqeltrd 2370 . . . . . 6
9493expr 598 . . . . 5
9594rexlimdva 2680 . . . 4
9640, 95mpd 14 . . 3
97 simprl 732 . . . . 5
9840ralrimiva 2639 . . . . . 6
9998adantr 451 . . . . 5
100 fveq2 5541 . . . . . . . 8
101100eqeq1d 2304 . . . . . . 7
102101rexbidv 2577 . . . . . 6
103102rspcv 2893 . . . . 5
10497, 99, 103sylc 56 . . . 4
105 simprr 733 . . . . 5
106 fveq2 5541 . . . . . . . . 9
107106eqeq1d 2304 . . . . . . . 8
108107rexbidv 2577 . . . . . . 7
109 oveq1 5881 . . . . . . . . 9
110109eqeq2d 2307 . . . . . . . 8
111110cbvrexv 2778 . . . . . . 7
112108, 111syl6bb 252 . . . . . 6
113112rspcv 2893 . . . . 5
114105, 99, 113sylc 56 . . . 4
115 reeanv 2720 . . . . 5
11680ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
11789ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
118 simprll 738 . . . . . . . . 9
119 simprlr 739 . . . . . . . . 9
120 expaddz 11162 . . . . . . . . 9
121116, 117, 118, 119, 120syl22anc 1183 . . . . . . . 8
122 simpll 730 . . . . . . . . 9
12357ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10
12497adantr 451 . . . . . . . . . 10
125105adantr 451 . . . . . . . . . 10
126 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11
1274, 126unitmulcl 15462 . . . . . . . . . 10
128123, 124, 125, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
129118, 119zaddcld 10137 . . . . . . . . 9
130 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11
131 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11
132130, 131oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
13311, 17, 18, 19dpjghm 15314 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
13421oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15 s DProd s
135 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
13643, 135eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . 16
13772ressid 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15 s
139134, 138syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14 s DProd
140139oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 s DProd
141133, 140eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12
142141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
143 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14 Unit
1444, 143eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . 13
145 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrp mulGrp
146145, 126mgpplusg 15345 . . . . . . . . . . . . . 14 mulGrp
14743, 146ressplusg 13266 . . . . . . . . . . . . 13
148144, 147ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
14972, 148, 148ghmlin 14704 . . . . . . . . . . 11
150142, 124, 125, 149syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
15159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
15271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
15372, 44, 148mulgdir 14608 . . . . . . . . . . 11
154151, 118, 119, 152, 153syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10
155132, 150, 1543eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9
1561, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . 9
157122, 128, 129, 155, 156syl22anc 1183 . . . . . . . 8
1581, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . . 10
159122, 124, 118, 130, 158syl22anc 1183 . . . . . . . . 9
1601, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . . 10
161122, 125, 119, 131, 160syl22anc 1183 . . . . . . . . 9
162159, 161oveq12d 5892 . . . . . . . 8
163121, 157, 1623eqtr4d 2338 . . . . . . 7
164163expr 598 . . . . . 6
165164rexlimdvva 2687 . . . . 5
166115, 165syl5bir 209 . . . 4
167104, 114, 166mp2and 660 . . 3
168 id 19 . . . . 5
169 eqid 2296 . . . . . . 7
1704, 1691unit 15456 . . . . . 6
17157, 170syl 15 . . . . 5
172 0z 10051 . . . . . 6
173172a1i 10 . . . . 5
174 eqid 2296 . . . . . . . 8
175174, 174ghmid 14705 . . . . . . 7
176141, 175syl 15 . . . . . 6
1774, 43, 169unitgrpid 15467 . . . . . . . 8
17857, 177syl 15 . . . . . . 7
179178fveq2d 5545 . . . . . 6
18072, 174, 44mulg0 14588 . . . . . . 7
18171, 180syl 15 . . . . . 6
182176, 179, 1813eqtr4d 2338 . . . . 5
1831, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . 5
184168, 171, 173, 182, 183syl22anc 1183 . . . 4
18580exp0d 11255 . . . 4
186184, 185eqtrd 2328 . . 3
1871, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 96, 167, 186dchrelbasd 20494 . 2
18862, 45sseldi 3191 . . . . 5
189 eleq1 2356 . . . . . . 7
190 fveq2 5541 . . . . . . 7
191 eqidd 2297 . . . . . . 7
192189, 190, 191ifbieq12d 3600 . . . . . 6
193 eqid 2296 . . . . . 6
194 fvex 5555 . . . . . . 7
195 c0ex 8848 . . . . . . 7
196194, 195ifex 3636 . . . . . 6
197192, 193, 196fvmpt3i 5621 . . . . 5
198188, 197syl 15 . . . 4
199 iftrue 3584 . . . . 5
20045, 199syl 15 . . . 4
201198, 200eqtrd 2328 . . 3
202 fveq2 5541 . . . . . . . 8
203202eqeq1d 2304 . . . . . . 7
204203rexbidv 2577 . . . . . 6
205204rspcv 2893 . . . . 5
20645, 98, 205sylc 56 . . . 4
2071, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . 9
20848oveq1i 5884 . . . . . . . . 9
209207, 208syl6eq 2344 . . . . . . . 8
21049ad2antrr 706 . . . . . . . . 9
21159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
21271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
213 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12
21472, 47, 44, 174oddvds 14878 . . . . . . . . . . . 12
215211, 212, 213, 214syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11
21674ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
217 root1eq1 20111 . . . . . . . . . . . 12
218216, 213, 217syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
219 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12
22041, 178syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13
221220ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
222219, 221eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11
223215, 218, 2223bitr4d 276 . . . . . . . . . 10
224223necon3bid 2494 . . . . . . . . 9
225210, 224mpbird 223 . . . . . . . 8
226209, 225eqnetrd 2477 . . . . . . 7
227226expr 598 . . . . . 6
228227rexlimdva 2680 . . . . 5
22945, 228mpdan 649 . . . 4
230206, 229mpd 14 . . 3
231201, 230eqnetrd 2477 . 2
232 fveq1 5540 . . . 4
233232neeq1d 2472 . . 3
234233rspcev 2897 . 2
235187, 231, 234syl2anc 642 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   wss 3165  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cdm 4705   crn 4706  cio 5233  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  ..^cfzo 10886  cexp 11120  chash 11353  Word cword 11419   cdivides 12547  cbs 13164   ↾s cress 13165   cplusg 13224  cmulr 13225  c0g 13416  cgrp 14378  .gcmg 14382   cghm 14696  cod 14856   DProd cdprd 15247  dProjcdpj 15248  mulGrpcmgp 15341  crg 15353  ccrg 15354  cur 15355  Unitcui 15437  ℤ/nℤczn 16470   ccxp 19929  DChrcdchr 20487 This theorem is referenced by:  dchrptlem3  20521 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-word 11425  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-od 14860  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-dprd 15249  df-dpj 15250  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
 Copyright terms: Public domain W3C validator