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Theorem dchrptlem2 20520
Description: Lemma for dchrpt 20522. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrpt.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrpt.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrpt.b  |-  B  =  ( Base `  Z
)
dchrpt.1  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
dchrpt.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
dchrpt.n1  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
dchrpt.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrpt.h  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
dchrpt.m  |-  .x.  =  (.g
`  H )
dchrpt.s  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
dchrpt.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
dchrpt.w  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
dchrpt.2  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
dchrpt.3  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
dchrpt.p  |-  P  =  ( HdProj S )
dchrpt.o  |-  O  =  ( od `  H
)
dchrpt.t  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
dchrpt.i  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
dchrpt.4  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
dchrpt.5  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrptlem2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Distinct variable groups:    h, k, m, n, x,  .1.    u, h, A, k, m, n, x    h, I, k, m, u    x, B   
x, G    h, H, k, m, n, u, x   
x, N    h, W, k, m, n, u, x    .x. , h, k, m, n, u, x    x, X    P, h, m, u    S, h, k, m, n, u, x    h, Z, k, m, n, u, x   
x, D    ph, h, k, m, n, x    T, h, m, u    U, h, m, u, x
Allowed substitution hints:    ph( u)    B( u, h, k, m, n)    D( u, h, k, m, n)    P( x, k, n)    T( x, k, n)    U( k, n)    .1. ( u)    G( u, h, k, m, n)    I( x, n)    N( u, h, k, m, n)    O( x, u, h, k, m, n)    X( u, h, k, m, n)

Proof of Theorem dchrptlem2
Dummy variables  a 
b  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrpt.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrpt.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Z
)
4 dchrpt.u . . 3  |-  U  =  (Unit `  Z )
5 dchrpt.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
6 dchrpt.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
7 fveq2 5541 . . 3  |-  ( v  =  x  ->  ( X `  v )  =  ( X `  x ) )
8 fveq2 5541 . . 3  |-  ( v  =  y  ->  ( X `  v )  =  ( X `  y ) )
9 fveq2 5541 . . 3  |-  ( v  =  ( x ( .r `  Z ) y )  ->  ( X `  v )  =  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) ) )
10 fveq2 5541 . . 3  |-  ( v  =  ( 1r `  Z )  ->  ( X `  v )  =  ( X `  ( 1r `  Z ) ) )
11 dchrpt.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H dom DProd  S )
12 zex 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
1312mptex 5762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  e.  _V
1413rnex 4958 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  e.  _V
15 dchrpt.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( k  e.  dom  W 
|->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `  k ) ) ) )
1614, 15dmmpti 5389 . . . . . . . . . 10  |-  dom  S  =  dom  W
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  S  =  dom  W )
18 dchrpt.p . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( HdProj S )
19 dchrpt.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  W
)
2011, 17, 18, 19dpjf 15308 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P `  I
) : ( H DProd 
S ) --> ( S `
 I ) )
21 dchrpt.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( H DProd  S )  =  U )
2221feq2d 5396 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) : ( H DProd  S ) --> ( S `  I )  <-> 
( P `  I
) : U --> ( S `
 I ) ) )
2320, 22mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P `  I
) : U --> ( S `
 I ) )
24 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P `  I
) : U --> ( S `
 I )  /\  v  e.  U )  ->  ( ( P `  I ) `  v
)  e.  ( S `
 I ) )
2523, 24sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  v )  e.  ( S `  I
) )
2619adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  I  e.  dom  W )
27 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  a  ->  (
n  .x.  ( W `  k ) )  =  ( a  .x.  ( W `  k )
) )
2827cbvmptv 4127 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  ( W `  k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  k ) ) )
29 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  I  ->  ( W `  k )  =  ( W `  I ) )
3029oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  I  ->  (
a  .x.  ( W `  k ) )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
) )
3130mpteq2dv 4123 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  I  ->  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
3228, 31syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  I  ->  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
3332rneqd 4922 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  I  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  ( W `
 k ) ) )  =  ran  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
3433, 15, 14fvmpt3i 5621 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  dom  W  -> 
( S `  I
)  =  ran  (
a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
3526, 34syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( S `  I )  =  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) ) )
3625, 35eleqtrd 2372 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  v )  e.  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) ) )
37 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ZZ  |->  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )  =  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) )
38 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  e. 
_V
3937, 38elrnmpti 4946 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  I
) `  v )  e.  ran  ( a  e.  ZZ  |->  ( a  .x.  ( W `  I ) ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  v )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
4036, 39sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  v )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
41 dchrpt.1 . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  Z )
42 dchrpt.n1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  =/=  .1.  )
43 dchrpt.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( (mulGrp `  Z
)s 
U )
44 dchrpt.m . . . . . . . 8  |-  .x.  =  (.g
`  H )
45 dchrpt.au . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
46 dchrpt.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. Word  U )
47 dchrpt.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  H
)
48 dchrpt.t . . . . . . . 8  |-  T  =  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )
49 dchrpt.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  A
)  =/=  .1.  )
50 dchrpt.5 . . . . . . . 8  |-  X  =  ( u  e.  U  |->  ( iota h E. m  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  u
)  =  ( m 
.x.  ( W `  I ) )  /\  h  =  ( T ^ m ) ) ) )
511, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  v )  =  ( T ^ a ) )
52 neg1cn 9829 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
53 2re 9831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
545nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
552zncrng 16514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
56 crngrng 15367 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
5754, 55, 563syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
584, 43unitgrp 15465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Z  e.  Ring  ->  H  e. 
Grp )
5957, 58syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  H  e.  Grp )
602, 3znfi 16529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
615, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
623, 4unitss 15458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  C_  B
63 ssfi 7099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  U  C_  B )  ->  U  e.  Fin )
6461, 62, 63sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
65 wrdf 11435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  e. Word  U  ->  W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U )
6646, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U )
67 fdm 5409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W : ( 0..^ (
# `  W )
) --> U  ->  dom  W  =  ( 0..^ (
# `  W )
) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  dom  W  =  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
6919, 68eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )
70 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( W : ( 0..^ ( # `  W
) ) --> U  /\  I  e.  ( 0..^ ( # `  W
) ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
7166, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( W `  I
)  e.  U )
724, 43unitgrpbas 15464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U  =  ( Base `  H
)
7372, 47odcl2 14894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  U  e.  Fin  /\  ( W `  I )  e.  U )  ->  ( O `  ( W `  I ) )  e.  NN )
7459, 64, 71, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN )
75 nndivre 9797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( O `  ( W `
 I ) )  e.  NN )  -> 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
7653, 74, 75sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  RR )
7776recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )
78 cxpcl 20037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) )  e.  CC )  -> 
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  e.  CC )
7952, 77, 78sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )  e.  CC )
8048, 79syl5eqel 2380 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
8180ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
8252a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u 1  e.  CC )
83 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
84 ax-1ne0 8822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
8583, 84negne0i 9137 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
8685a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u 1  =/=  0
)
8782, 86, 77cxpne0d 20076 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) )  =/=  0 )
8848neeq1i 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0  <->  ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) )  =/=  0 )
8987, 88sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
9089ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
91 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
9281, 90, 91expclzd 11266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( T ^ a )  e.  CC )
9351, 92eqeltrd 2370 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  v )  e.  CC )
9493expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  U )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( X `  v
)  e.  CC ) )
9594rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( X `  v
)  e.  CC ) )
9640, 95mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  v  e.  U )  ->  ( X `  v )  e.  CC )
97 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  x  e.  U )
9840ralrimiva 2639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
9998adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
100 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  x  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  x ) )
101100eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( v  =  x  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
102101rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( v  =  x  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
103102rspcv 2893 . . . . 5  |-  ( x  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
10497, 99, 103sylc 56 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
105 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
y  e.  U )
106 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  y  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  y ) )
107106eqeq1d 2304 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  y  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
108107rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( v  =  y  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
109 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
a  .x.  ( W `  I ) )  =  ( b  .x.  ( W `  I )
) )
110109eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  b  ->  (
( ( P `  I ) `  y
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
111110cbvrexv 2778 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  ZZ  (
( P `  I
) `  y )  =  ( a  .x.  ( W `  I ) )  <->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
112108, 111syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( v  =  y  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
113112rspcv 2893 . . . . 5  |-  ( y  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
114105, 99, 113sylc 56 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  ->  E. b  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
115 reeanv 2720 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  /\  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )  <-> 
( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
11680ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
11789ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
118 simprll 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
a  e.  ZZ )
119 simprlr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
120 expaddz 11162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( T ^ (
a  +  b ) )  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
121116, 117, 118, 119, 120syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( T ^ (
a  +  b ) )  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
122 simpll 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  ph )
12357ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  Z  e.  Ring )
12497adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  x  e.  U )
125105adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
y  e.  U )
126 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
1274, 126unitmulcl 15462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U )
128123, 124, 125, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( x ( .r
`  Z ) y )  e.  U )
129118, 119zaddcld 10137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( a  +  b )  e.  ZZ )
130 simprrl 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
131 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) )
132130, 131oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( ( P `
 I ) `  x ) ( .r
`  Z ) ( ( P `  I
) `  y )
)  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
13311, 17, 18, 19dpjghm 15314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P `  I
)  e.  ( ( Hs  ( H DProd  S ) )  GrpHom  H ) )
13421oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( Hs  ( H DProd  S
) )  =  ( Hs  U ) )
135 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (mulGrp `  Z )s  U )  e.  _V
13643, 135eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  H  e. 
_V
13772ressid 13219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( H  e.  _V  ->  ( Hs  U )  =  H )
138136, 137ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Hs  U )  =  H
139134, 138syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( Hs  ( H DProd  S
) )  =  H )
140139oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Hs  ( H DProd 
S ) )  GrpHom  H )  =  ( H 
GrpHom  H ) )
141133, 140eleqtrd 2372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H ) )
142141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H ) )
143 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (Unit `  Z )  e.  _V
1444, 143eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U  e. 
_V
145 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
146145, 126mgpplusg 15345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
14743, 146ressplusg 13266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  _V  ->  ( .r `  Z )  =  ( +g  `  H
) )
148144, 147ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  H
)
14972, 148, 148ghmlin 14704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P `  I
)  e.  ( H 
GrpHom  H )  /\  x  e.  U  /\  y  e.  U )  ->  (
( P `  I
) `  ( x
( .r `  Z
) y ) )  =  ( ( ( P `  I ) `
 x ) ( .r `  Z ) ( ( P `  I ) `  y
) ) )
150142, 124, 125, 149syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( ( P `  I
) `  x )
( .r `  Z
) ( ( P `
 I ) `  y ) ) )
15159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  ->  H  e.  Grp )
15271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( W `  I
)  e.  U )
15372, 44, 148mulgdir 14608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  ( W `  I )  e.  U ) )  ->  ( ( a  +  b )  .x.  ( W `  I ) )  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
154151, 118, 119, 152, 153syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( a  +  b )  .x.  ( W `  I )
)  =  ( ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ( .r `  Z
) ( b  .x.  ( W `  I ) ) ) )
155132, 150, 1543eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( a  +  b ) 
.x.  ( W `  I ) ) )
1561, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x ( .r `  Z ) y )  e.  U )  /\  ( ( a  +  b )  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( a  +  b ) 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( T ^ ( a  +  b ) ) )
157122, 128, 129, 155, 156syl22anc 1183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( T ^ ( a  +  b ) ) )
1581, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  x
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  x )  =  ( T ^ a ) )
159122, 124, 118, 130, 158syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  x
)  =  ( T ^ a ) )
1601, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  U )  /\  (
b  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  y
)  =  ( b 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  y )  =  ( T ^ b ) )
161122, 125, 119, 131, 160syl22anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  y
)  =  ( T ^ b ) )
162159, 161oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( ( X `  x )  x.  ( X `  y )
)  =  ( ( T ^ a )  x.  ( T ^
b ) ) )
163121, 157, 1623eqtr4d 2338 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) ) ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
164163expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  U  /\  y  e.  U )
)  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  -> 
( ( ( ( P `  I ) `
 x )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
)  /\  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
165164rexlimdvva 2687 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( ( P `  I ) `
 x )  =  ( a  .x.  ( W `  I )
)  /\  ( ( P `  I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
166115, 165syl5bir 209 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  x )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  /\  E. b  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  y )  =  ( b  .x.  ( W `
 I ) ) )  ->  ( X `  ( x ( .r
`  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x
)  x.  ( X `
 y ) ) ) )
167104, 114, 166mp2and 660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  U  /\  y  e.  U ) )  -> 
( X `  (
x ( .r `  Z ) y ) )  =  ( ( X `  x )  x.  ( X `  y ) ) )
168 id 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ph )
169 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
1704, 1691unit 15456 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  e.  U )
17157, 170syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  e.  U )
172 0z 10051 . . . . . 6  |-  0  e.  ZZ
173172a1i 10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
174 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  H )  =  ( 0g `  H
)
175174, 174ghmid 14705 . . . . . . 7  |-  ( ( P `  I )  e.  ( H  GrpHom  H )  ->  ( ( P `  I ) `  ( 0g `  H
) )  =  ( 0g `  H ) )
176141, 175syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 0g `  H ) )  =  ( 0g `  H ) )
1774, 43, 169unitgrpid 15467 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  H
) )
17857, 177syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  Z
)  =  ( 0g
`  H ) )
179178fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( ( P `
 I ) `  ( 0g `  H ) ) )
18072, 174, 44mulg0 14588 . . . . . . 7  |-  ( ( W `  I )  e.  U  ->  (
0  .x.  ( W `  I ) )  =  ( 0g `  H
) )
18171, 180syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  .x.  ( W `  I )
)  =  ( 0g
`  H ) )
182176, 179, 1813eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( 0  .x.  ( W `  I
) ) )
1831, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  ( 1r `  Z )  e.  U )  /\  (
0  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  ( 1r `  Z ) )  =  ( 0  .x.  ( W `  I
) ) ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  ( T ^ 0 ) )
184168, 171, 173, 182, 183syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  ( T ^
0 ) )
18580exp0d 11255 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( T ^ 0 )  =  1 )
186184, 185eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
1871, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 96, 167, 186dchrelbasd 20494 . 2  |-  ( ph  ->  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) )  e.  D )
18862, 45sseldi 3191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
189 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  (
v  e.  U  <->  A  e.  U ) )
190 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  ( X `  v )  =  ( X `  A ) )
191 eqidd 2297 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  0  =  0 )
192189, 190, 191ifbieq12d 3600 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 )  =  if ( A  e.  U , 
( X `  A
) ,  0 ) )
193 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) )  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) )
194 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( X `
 v )  e. 
_V
195 c0ex 8848 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
196194, 195ifex 3636 . . . . . 6  |-  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 )  e.  _V
197192, 193, 196fvmpt3i 5621 . . . . 5  |-  ( A  e.  B  ->  (
( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) ) `  A )  =  if ( A  e.  U ,  ( X `  A ) ,  0 ) )
198188, 197syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =  if ( A  e.  U ,  ( X `
 A ) ,  0 ) )
199 iftrue 3584 . . . . 5  |-  ( A  e.  U  ->  if ( A  e.  U ,  ( X `  A ) ,  0 )  =  ( X `
 A ) )
20045, 199syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  if ( A  e.  U ,  ( X `
 A ) ,  0 )  =  ( X `  A ) )
201198, 200eqtrd 2328 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =  ( X `  A
) )
202 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  A  ->  (
( P `  I
) `  v )  =  ( ( P `
 I ) `  A ) )
203202eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( v  =  A  ->  (
( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
204203rexbidv 2577 . . . . . 6  |-  ( v  =  A  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  <->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) ) )
205204rspcv 2893 . . . . 5  |-  ( A  e.  U  ->  ( A. v  e.  U  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  v
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )
20645, 98, 205sylc 56 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) )
2071, 2, 6, 3, 41, 5, 42, 4, 43, 44, 15, 45, 46, 11, 21, 18, 47, 48, 19, 49, 50dchrptlem1 20519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =  ( T ^ a ) )
20848oveq1i 5884 . . . . . . . . 9  |-  ( T ^ a )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^
a )
209207, 208syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  / 
( O `  ( W `  I )
) ) ) ^
a ) )
21049ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( P `  I ) `  A )  =/=  .1.  )
21159ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  H  e.  Grp )
21271ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( W `  I )  e.  U
)
213 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
21472, 47, 44, 174oddvds 14878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H  e.  Grp  /\  ( W `  I )  e.  U  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( O `  ( W `  I )
)  ||  a  <->  ( a  .x.  ( W `  I
) )  =  ( 0g `  H ) ) )
215211, 212, 213, 214syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( O `  ( W `  I ) )  ||  a 
<->  ( a  .x.  ( W `  I )
)  =  ( 0g
`  H ) ) )
21674ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( O `  ( W `  I
) )  e.  NN )
217 root1eq1 20111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( O `  ( W `  I )
)  e.  NN  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( -u
1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  a
) )
218216, 213, 217syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( O `  ( W `  I
) )  ||  a
) )
219 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( P `  I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) ) )
22041, 178syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  .1.  =  ( 0g
`  H ) )
221220ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  .1.  =  ( 0g `  H ) )
222219, 221eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( P `  I
) `  A )  =  .1.  <->  ( a  .x.  ( W `  I ) )  =  ( 0g
`  H ) ) )
223215, 218, 2223bitr4d 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =  1  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =  .1.  ) )
224223necon3bid 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( (
( -u 1  ^ c 
( 2  /  ( O `  ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =/=  1  <->  ( ( P `  I ) `  A )  =/=  .1.  ) )
225210, 224mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( ( -u 1  ^ c  ( 2  /  ( O `
 ( W `  I ) ) ) ) ^ a )  =/=  1 )
226209, 225eqnetrd 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) ) ) )  ->  ( X `  A )  =/=  1
)
227226expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  U )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( X `  A
)  =/=  1 ) )
228227rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  U )  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `  I ) `  A
)  =  ( a 
.x.  ( W `  I ) )  -> 
( X `  A
)  =/=  1 ) )
22945, 228mpdan 649 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ZZ  ( ( P `
 I ) `  A )  =  ( a  .x.  ( W `
 I ) )  ->  ( X `  A )  =/=  1
) )
230206, 229mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X `  A
)  =/=  1 )
231201, 230eqnetrd 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `
 A )  =/=  1 )
232 fveq1 5540 . . . 4  |-  ( x  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) )  ->  ( x `  A )  =  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) ) `  A ) )
233232neeq1d 2472 . . 3  |-  ( x  =  ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) )  ->  ( ( x `
 A )  =/=  1  <->  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U , 
( X `  v
) ,  0 ) ) `  A )  =/=  1 ) )
234233rspcev 2897 . 2  |-  ( ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `
 v ) ,  0 ) )  e.  D  /\  ( ( v  e.  B  |->  if ( v  e.  U ,  ( X `  v ) ,  0 ) ) `  A
)  =/=  1 )  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
235187, 231, 234syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  D  ( x `  A
)  =/=  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   dom cdm 4705   ran crn 4706   iotacio 5233   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Fincfn 6879   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ..^cfzo 10886   ^cexp 11120   #chash 11353  Word cword 11419    || cdivides 12547   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  .gcmg 14382    GrpHom cghm 14696   odcod 14856   DProd cdprd 15247  dProjcdpj 15248  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  Unitcui 15437  ℤ/nczn 16470    ^ c ccxp 19929  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrptlem3  20521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-word 11425  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-od 14860  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-dprd 15249  df-dpj 15250  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
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