Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrptlem3 Unicode version

Theorem dchrptlem3 20521
 Description: Lemma for dchrpt 20522. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrpt.g DChr
dchrpt.z ℤ/n
dchrpt.d
dchrpt.b
dchrpt.1
dchrpt.n
dchrpt.n1
dchrpt.u Unit
dchrpt.h mulGrps
dchrpt.m .g
dchrpt.s
dchrpt.au
dchrpt.w Word
dchrpt.2 DProd
dchrpt.3 DProd
Assertion
Ref Expression
dchrptlem3
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem dchrptlem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrpt.n1 . . . . 5
2 dchrpt.n . . . . . . . . . . . 12
32nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11
4 dchrpt.z . . . . . . . . . . . 12 ℤ/n
54zncrng 16514 . . . . . . . . . . 11
63, 5syl 15 . . . . . . . . . 10
7 crngrng 15367 . . . . . . . . . 10
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9
9 dchrpt.u . . . . . . . . . 10 Unit
10 dchrpt.h . . . . . . . . . 10 mulGrps
119, 10unitgrp 15465 . . . . . . . . 9
128, 11syl 15 . . . . . . . 8
13 grpmnd 14510 . . . . . . . 8
1412, 13syl 15 . . . . . . 7
15 dchrpt.w . . . . . . . 8 Word
16 dmexg 4955 . . . . . . . 8 Word
1715, 16syl 15 . . . . . . 7
18 eqid 2296 . . . . . . . 8
1918gsumz 14474 . . . . . . 7 g
2014, 17, 19syl2anc 642 . . . . . 6 g
21 dchrpt.1 . . . . . . . . . 10
229, 10, 21unitgrpid 15467 . . . . . . . . 9
238, 22syl 15 . . . . . . . 8
2423mpteq2dv 4123 . . . . . . 7
2524oveq2d 5890 . . . . . 6 g g
2620, 25, 233eqtr4d 2338 . . . . 5 g
271, 26neeqtrrd 2483 . . . 4 g
28 dchrpt.2 . . . . . 6 DProd
29 zex 10049 . . . . . . . . . 10
3029mptex 5762 . . . . . . . . 9
3130rnex 4958 . . . . . . . 8
32 dchrpt.s . . . . . . . 8
3331, 32dmmpti 5389 . . . . . . 7
3433a1i 10 . . . . . 6
35 eqid 2296 . . . . . 6 dProj dProj
36 dchrpt.au . . . . . . 7
37 dchrpt.3 . . . . . . 7 DProd
3836, 37eleqtrrd 2373 . . . . . 6 DProd
39 eqid 2296 . . . . . 6
4023adantr 451 . . . . . . . 8
4128, 34dprdf2 15258 . . . . . . . . . 10 SubGrp
42 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
4341, 42sylan 457 . . . . . . . . 9 SubGrp
4418subg0cl 14645 . . . . . . . . 9 SubGrp
4543, 44syl 15 . . . . . . . 8
4640, 45eqeltrd 2370 . . . . . . 7
47 0fin 7103 . . . . . . . 8
4823adantr 451 . . . . . . . . 9
4948suppss2 6089 . . . . . . . 8
50 ssfi 7099 . . . . . . . 8
5147, 49, 50sylancr 644 . . . . . . 7
5239, 28, 34, 46, 51dprdwd 15262 . . . . . 6
5328, 34, 35, 38, 18, 39, 52dpjeq 15310 . . . . 5 g dProj
5453necon3abid 2492 . . . 4 g dProj
5527, 54mpbid 201 . . 3 dProj
56 rexnal 2567 . . 3 dProj dProj
5755, 56sylibr 203 . 2 dProj
58 df-ne 2461 . . . 4 dProj dProj
59 dchrpt.g . . . . . 6 DChr
60 dchrpt.d . . . . . 6
61 dchrpt.b . . . . . 6
622adantr 451 . . . . . 6 dProj
631adantr 451 . . . . . 6 dProj
64 dchrpt.m . . . . . 6 .g
6536adantr 451 . . . . . 6 dProj
6615adantr 451 . . . . . 6 dProj Word
6728adantr 451 . . . . . 6 dProj DProd
6837adantr 451 . . . . . 6 dProj DProd
69 eqid 2296 . . . . . 6
70 eqid 2296 . . . . . 6
71 simprl 732 . . . . . 6 dProj
72 simprr 733 . . . . . 6 dProj dProj
73 eqid 2296 . . . . . 6 dProj dProj
7459, 4, 60, 61, 21, 62, 63, 9, 10, 64, 32, 65, 66, 67, 68, 35, 69, 70, 71, 72, 73dchrptlem2 20520 . . . . 5 dProj
7574expr 598 . . . 4 dProj
7658, 75syl5bir 209 . . 3 dProj
7776rexlimdva 2680 . 2 dProj
7857, 77mpd 14 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  crab 2560  cvv 2801   cdif 3162   wss 3165  c0 3468  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093  ccnv 4704   cdm 4705   crn 4706  cima 4708  cio 5233  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  cixp 6833  cfn 6879  c1 8754  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cn0 9981  cz 10040  cexp 11120  Word cword 11419  cbs 13164   ↾s cress 13165  c0g 13416   g cgsu 13417  cmnd 14377  cgrp 14378  .gcmg 14382  SubGrpcsubg 14631  cod 14856   DProd cdprd 15247  dProjcdpj 15248  mulGrpcmgp 15341  crg 15353  ccrg 15354  cur 15355  Unitcui 15437  ℤ/nℤczn 16470   ccxp 19929  DChrcdchr 20487 This theorem is referenced by:  dchrpt  20522 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-word 11425  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-gim 14739  df-cntz 14809  df-oppg 14835  df-od 14860  df-lsm 14963  df-pj1 14964  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-dprd 15249  df-dpj 15250  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
 Copyright terms: Public domain W3C validator