MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrresb Unicode version

Theorem dchrresb 21004
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrresb.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrresb.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrresb.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrresb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrresb.Y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrresb  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem dchrresb
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrresb.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrresb.b . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrresb.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 20987 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 ffn 5558 . . . 4  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
9 dchrresb.Y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
101, 2, 3, 4, 9dchrf 20987 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
11 ffn 5558 . . . 4  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
13 dchrresb.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
144, 13unitss 15728 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  Z )
15 fvreseq 5800 . . . 4  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  (
( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
1614, 15mpan2 653 . . 3  |-  ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z
) )  ->  (
( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
178, 12, 16syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
181, 2, 3, 13, 5, 9dchreq 21003 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
1917, 18bitr4d 248 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674    C_ wss 3288    |` cres 4847    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421   CCcc 8952   Basecbs 13432  Unitcui 15707  ℤ/nczn 16744  DChrcdchr 20977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-imas 13697  df-divs 13698  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-nsg 14905  df-eqg 14906  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209  df-rsp 16210  df-2idl 16266  df-cnfld 16667  df-zn 16748  df-dchr 20978
  Copyright terms: Public domain W3C validator