MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrresb Structured version   Unicode version

Theorem dchrresb 21048
Description: A Dirichlet character is determined by its values on the unit group. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrresb.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrresb.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrresb.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrresb.u  |-  U  =  (Unit `  Z )
dchrresb.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrresb.Y  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrresb  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  X  =  Y ) )

Proof of Theorem dchrresb
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dchrresb.g . . . . 5  |-  G  =  (DChr `  N )
2 dchrresb.z . . . . 5  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
3 dchrresb.b . . . . 5  |-  D  =  ( Base `  G
)
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
5 dchrresb.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
61, 2, 3, 4, 5dchrf 21031 . . . 4  |-  ( ph  ->  X : ( Base `  Z ) --> CC )
7 ffn 5594 . . . 4  |-  ( X : ( Base `  Z
) --> CC  ->  X  Fn  ( Base `  Z
) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  X  Fn  ( Base `  Z ) )
9 dchrresb.Y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
101, 2, 3, 4, 9dchrf 21031 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y : ( Base `  Z ) --> CC )
11 ffn 5594 . . . 4  |-  ( Y : ( Base `  Z
) --> CC  ->  Y  Fn  ( Base `  Z
) )
1210, 11syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( Base `  Z ) )
13 dchrresb.u . . . . 5  |-  U  =  (Unit `  Z )
144, 13unitss 15770 . . . 4  |-  U  C_  ( Base `  Z )
15 fvreseq 5836 . . . 4  |-  ( ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z ) )  /\  U  C_  ( Base `  Z
) )  ->  (
( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
1614, 15mpan2 654 . . 3  |-  ( ( X  Fn  ( Base `  Z )  /\  Y  Fn  ( Base `  Z
) )  ->  (
( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
178, 12, 16syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
181, 2, 3, 13, 5, 9dchreq 21047 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  Y  <->  A. k  e.  U  ( X `  k )  =  ( Y `  k ) ) )
1917, 18bitr4d 249 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  |`  U )  =  ( Y  |`  U )  <->  X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    C_ wss 3322    |` cres 4883    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457   CCcc 8993   Basecbs 13474  Unitcui 15749  ℤ/nczn 16786  DChrcdchr 21021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-ec 6910  df-qs 6914  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-imas 13739  df-divs 13740  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-nsg 14947  df-eqg 14948  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-lsp 16053  df-sra 16249  df-rgmod 16250  df-lidl 16251  df-rsp 16252  df-2idl 16308  df-cnfld 16709  df-zn 16790  df-dchr 21022
  Copyright terms: Public domain W3C validator