Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrsum2 Unicode version

Theorem dchrsum2 20507
 Description: An orthogonality relation for Dirichlet characters: the sum of all the values of a Dirichlet character is if is non-principal and otherwise. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrsum.g DChr
dchrsum.z ℤ/n
dchrsum.d
dchrsum.1
dchrsum.x
dchrsum2.u Unit
Assertion
Ref Expression
dchrsum2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem dchrsum2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2292 . 2
2 eqeq2 2292 . 2
3 fveq1 5524 . . . . . 6
4 dchrsum.g . . . . . . 7 DChr
5 dchrsum.z . . . . . . 7 ℤ/n
6 dchrsum.1 . . . . . . 7
7 dchrsum2.u . . . . . . 7 Unit
8 dchrsum.x . . . . . . . . 9
9 dchrsum.d . . . . . . . . . 10
104, 9dchrrcl 20479 . . . . . . . . 9
118, 10syl 15 . . . . . . . 8
1211adantr 451 . . . . . . 7
13 simpr 447 . . . . . . 7
144, 5, 6, 7, 12, 13dchr1 20496 . . . . . 6
153, 14sylan9eqr 2337 . . . . 5
1615an32s 779 . . . 4
1716sumeq2dv 12176 . . 3
185, 7znunithash 16518 . . . . . . . . 9
1911, 18syl 15 . . . . . . . 8
2011phicld 12840 . . . . . . . . 9
2120nnnn0d 10018 . . . . . . . 8
2219, 21eqeltrd 2357 . . . . . . 7
23 fvex 5539 . . . . . . . . 9 Unit
247, 23eqeltri 2353 . . . . . . . 8
25 hashclb 11352 . . . . . . . 8
2624, 25ax-mp 8 . . . . . . 7
2722, 26sylibr 203 . . . . . 6
28 ax-1cn 8795 . . . . . 6
29 fsumconst 12252 . . . . . 6
3027, 28, 29sylancl 643 . . . . 5
3119oveq1d 5873 . . . . 5
3220nncnd 9762 . . . . . 6
3332mulid1d 8852 . . . . 5
3430, 31, 333eqtrd 2319 . . . 4
3617, 35eqtrd 2315 . 2
374dchrabl 20493 . . . . . . . . . 10
3811, 37syl 15 . . . . . . . . 9
39 ablgrp 15094 . . . . . . . . 9
4038, 39syl 15 . . . . . . . 8
419, 6grpidcl 14510 . . . . . . . 8
4240, 41syl 15 . . . . . . 7
434, 5, 9, 7, 8, 42dchreq 20497 . . . . . 6
4443notbid 285 . . . . 5
45 rexnal 2554 . . . . 5
4644, 45syl6bbr 254 . . . 4
47 df-ne 2448 . . . . . 6
4811adantr 451 . . . . . . . . 9
49 simpr 447 . . . . . . . . 9
504, 5, 6, 7, 48, 49dchr1 20496 . . . . . . . 8
5150neeq2d 2460 . . . . . . 7
52 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453cbvsumv 12169 . . . . . . . . . . . . . 14
554, 5, 9dchrmhm 20480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrp MndHom mulGrpfld
5655, 8sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp MndHom mulGrpfld
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp MndHom mulGrpfld
58 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5958, 7unitss 15442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
60 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6159, 60sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6261adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6359sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16
65 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrp mulGrp
6665, 58mgpbas 15331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp
67 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6865, 67mgpplusg 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrp
69 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrpfld mulGrpfld
70 cnfldmul 16385 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 fld
7169, 70mgpplusg 15329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrpfld
7266, 68, 71mhmlin 14422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrp MndHom mulGrpfld
7357, 62, 64, 72syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . . . . . 14
7554, 74syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . 13
76 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14
7727adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14
7811nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
795zncrng 16498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8078, 79syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 crngrng 15351 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8280, 81syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 mulGrps mulGrps
847, 83unitgrp 15449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
8582, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
8685adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrps
87 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16
887, 83unitgrpbas 15448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
8983, 68ressplusg 13250 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 mulGrps
9024, 89ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16 mulGrps
9187, 88, 90grplactf1o 14565 . . . . . . . . . . . . . . 15 mulGrps
9286, 60, 91syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
9387, 88grplactval 14563 . . . . . . . . . . . . . . 15
9460, 93sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
954, 5, 9, 58, 8dchrf 20481 . . . . . . . . . . . . . . . 16
96 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9795, 63, 96syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . 14
9976, 77, 92, 94, 98fsumf1o 12196 . . . . . . . . . . . . 13
10095adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15
101 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15
102100, 61, 101syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14
10377, 102, 98fsummulc2 12246 . . . . . . . . . . . . 13
10475, 99, 1033eqtr4rd 2326 . . . . . . . . . . . 12
10577, 98fsumcl 12206 . . . . . . . . . . . . 13
106105mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . 12
107104, 106oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11
108105subidd 9145 . . . . . . . . . . 11
109107, 108eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10
11028a1i 10 . . . . . . . . . . 11
111102, 110, 105subdird 9236 . . . . . . . . . 10
112 subcl 9051 . . . . . . . . . . . 12
113102, 28, 112sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
114113mul01d 9011 . . . . . . . . . 10
115109, 111, 1143eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9
116 0cn 8831 . . . . . . . . . . 11
117116a1i 10 . . . . . . . . . 10
118 simprr 733 . . . . . . . . . . 11
119 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . 13
120102, 28, 119sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12
121120necon3bid 2481 . . . . . . . . . . 11
122118, 121mpbird 223 . . . . . . . . . 10
123105, 117, 113, 122mulcand 9401 . . . . . . . . 9
124115, 123mpbid 201 . . . . . . . 8
125124expr 598 . . . . . . 7
12651, 125sylbid 206 . . . . . 6
12747, 126syl5bir 209 . . . . 5
128127rexlimdva 2667 . . . 4
12946, 128sylbid 206 . . 3
130129imp 418 . 2
1311, 2, 36, 130ifbothda 3595 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wral 2543  wrex 2544  cvv 2788  cif 3565   cmpt 4077  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfn 6863  cc 8735  cc0 8737  c1 8738   cmul 8742   cmin 9037  cn 9746  cn0 9965  chash 11337  csu 12158  cphi 12832  cbs 13148   ↾s cress 13149   cplusg 13208  cmulr 13209  c0g 13400  cgrp 14362   MndHom cmhm 14413  cabel 15090  mulGrpcmgp 15325  crg 15337  ccrg 15338  Unitcui 15421  ℂfldccnfld 16377  ℤ/nℤczn 16454  DChrcdchr 20471 This theorem is referenced by:  dchrsum  20508 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-phi 12834  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dchr 20472
 Copyright terms: Public domain W3C validator