MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Unicode version

Theorem dchrvmaeq0 20653
Description: The set  W is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumif.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrvmasumif.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrvmasumif.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrvmasumif.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
dchrvmaeq0.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    C, m, y    y, F    m, a, y    m, N, y    ph, m    S, m, y    m, Z, y    D, m, y    L, a, m, y    X, a, m, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    S( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, m, a)    N( a)    W( y, m, a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrisum.n1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
3 eldifsn 3749 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( X  e.  D  /\  X  =/= 
.1.  ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
5 fveq1 5524 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
65oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
76sumeq2sdv 12177 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )
87eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
108, 9elrab2 2925 . . . 4  |-  ( X  e.  W  <->  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 ) )
1110baib 871 . . 3  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  -> 
( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
124, 11syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
13 nnuz 10263 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1514a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
16 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
1716fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
18 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
1917, 18oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
20 dchrvmasumif.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
21 ovex 5883 . . . . . 6  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
2219, 20, 21fvmpt 5602 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
2322adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
24 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
25 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
26 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
27 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
281adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
29 nnz 10045 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
3029adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
3124, 25, 26, 27, 28, 30dchrzrhcl 20484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
32 nncn 9754 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3332adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
34 nnne0 9778 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
3534adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
3631, 33, 35divcld 9536 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
37 dchrvmasumif.s . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3813, 15, 23, 36, 37isumclim 12220 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  S )
3938eqeq1d 2291 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  S  = 
0 ) )
4012, 39bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   [,)cico 10658   |_cfl 10924    seq cseq 11046   abscabs 11719    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20661  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem2  20667  dchrisumn0  20670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-dchr 20472
  Copyright terms: Public domain W3C validator