MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Unicode version

Theorem dchrvmaeq0 21065
Description: The set  W is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumif.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrvmasumif.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrvmasumif.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrvmasumif.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
dchrvmaeq0.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    C, m, y    y, F    m, a, y    m, N, y    ph, m    S, m, y    m, Z, y    D, m, y    L, a, m, y    X, a, m, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    S( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, m, a)    N( a)    W( y, m, a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrisum.n1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
3 eldifsn 3870 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( X  e.  D  /\  X  =/= 
.1.  ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
5 fveq1 5667 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
65oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
76sumeq2sdv 12425 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )
87eqeq1d 2395 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
108, 9elrab2 3037 . . . 4  |-  ( X  e.  W  <->  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 ) )
1110baib 872 . . 3  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  -> 
( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
124, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
13 nnuz 10453 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14 1z 10243 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
16 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
1716fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
18 id 20 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
1917, 18oveq12d 6038 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
20 dchrvmasumif.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
21 ovex 6045 . . . . . 6  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
2219, 20, 21fvmpt 5745 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
2322adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
24 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
25 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
26 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
27 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
281adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
29 nnz 10235 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
3029adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
3124, 25, 26, 27, 28, 30dchrzrhcl 20896 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
32 nncn 9940 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3332adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
34 nnne0 9964 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
3534adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
3631, 33, 35divcld 9722 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
37 dchrvmasumif.s . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3813, 15, 23, 36, 37isumclim 12468 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  S )
3938eqeq1d 2395 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  S  = 
0 ) )
4012, 39bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   {crab 2653    \ cdif 3260   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    +oocpnf 9050    <_ cle 9054    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   ZZcz 10214   [,)cico 10850   |_cfl 11128    seq cseq 11250   abscabs 11966    ~~> cli 12205   sum_csu 12406   Basecbs 13396   0gc0g 13650   ZRHomczrh 16701  ℤ/nczn 16704  DChrcdchr 20883
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  21073  dchrisum0re  21074  dchrisum0lem2  21079  dchrisumn0  21082
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001  ax-addf 9002  ax-mulf 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-tpos 6415  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-10 9998  df-n0 10154  df-z 10215  df-dec 10315  df-uz 10421  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-seq 11251  df-exp 11310  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-starv 13471  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-ple 13476  df-ds 13478  df-unif 13479  df-0g 13654  df-imas 13661  df-divs 13662  df-mnd 14617  df-mhm 14665  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-nsg 14869  df-eqg 14870  df-ghm 14931  df-cmn 15341  df-abl 15342  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-cring 15591  df-ur 15592  df-oppr 15655  df-dvdsr 15673  df-unit 15674  df-rnghom 15746  df-subrg 15793  df-lmod 15879  df-lss 15936  df-lsp 15975  df-sra 16171  df-rgmod 16172  df-lidl 16173  df-rsp 16174  df-2idl 16230  df-cnfld 16627  df-zrh 16705  df-zn 16708  df-dchr 20884
  Copyright terms: Public domain W3C validator