MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Unicode version

Theorem dchrvmaeq0 20669
Description: The set  W is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumif.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrvmasumif.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrvmasumif.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrvmasumif.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
dchrvmaeq0.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    C, m, y    y, F    m, a, y    m, N, y    ph, m    S, m, y    m, Z, y    D, m, y    L, a, m, y    X, a, m, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    S( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, m, a)    N( a)    W( y, m, a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrisum.n1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
3 eldifsn 3762 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( X  e.  D  /\  X  =/= 
.1.  ) )
41, 2, 3sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
5 fveq1 5540 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
65oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
76sumeq2sdv 12193 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )
87eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
108, 9elrab2 2938 . . . 4  |-  ( X  e.  W  <->  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 ) )
1110baib 871 . . 3  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  -> 
( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
124, 11syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
13 nnuz 10279 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14 1z 10069 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1514a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
16 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
1716fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
18 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
1917, 18oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
20 dchrvmasumif.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
21 ovex 5899 . . . . . 6  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
2219, 20, 21fvmpt 5618 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
2322adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
24 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
25 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
26 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
27 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
281adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
29 nnz 10061 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
3029adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
3124, 25, 26, 27, 28, 30dchrzrhcl 20500 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
32 nncn 9770 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3332adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
34 nnne0 9794 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
3534adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
3631, 33, 35divcld 9552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
37 dchrvmasumif.s . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3813, 15, 23, 36, 37isumclim 12236 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  S )
3938eqeq1d 2304 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  S  = 
0 ) )
4012, 39bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560    \ cdif 3162   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   [,)cico 10674   |_cfl 10940    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974   sum_csu 12174   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  20677  dchrisum0re  20678  dchrisum0lem2  20683  dchrisumn0  20686
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator