MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmaeq0 Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmaeq0 21190
Description: The set  W is the collection of all non-principal Dirichlet characters such that the sum  sum_ n  e.  NN ,  X ( n )  /  n is equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumif.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
dchrvmasumif.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
dchrvmasumif.s  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
dchrvmasumif.1  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( 1 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  S ) )  <_ 
( C  /  y
) )
dchrvmaeq0.w  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
Assertion
Ref Expression
dchrvmaeq0  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Distinct variable groups:    y, m,  .1.    C, m, y    y, F    m, a, y    m, N, y    ph, m    S, m, y    m, Z, y    D, m, y    L, a, m, y    X, a, m, y    m, F
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    C( a)    D( a)    S( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, m, a)    N( a)    W( y, m, a)    Z( a)

Proof of Theorem dchrvmaeq0
StepHypRef Expression
1 dchrisum.b . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrisum.n1 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
3 eldifsn 3919 . . . 4  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  <->  ( X  e.  D  /\  X  =/= 
.1.  ) )
41, 2, 3sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( D 
\  {  .1.  }
) )
5 fveq1 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  X  ->  (
y `  ( L `  m ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
65oveq1d 6088 . . . . . . 7  |-  ( y  =  X  ->  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
76sumeq2sdv 12490 . . . . . 6  |-  ( y  =  X  ->  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m ) )
87eqeq1d 2443 . . . . 5  |-  ( y  =  X  ->  ( sum_ m  e.  NN  (
( y `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0  <->  sum_ m  e.  NN  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 ) )
9 dchrvmaeq0.w . . . . 5  |-  W  =  { y  e.  ( D  \  {  .1.  } )  |  sum_ m  e.  NN  ( ( y `
 ( L `  m ) )  /  m )  =  0 }
108, 9elrab2 3086 . . . 4  |-  ( X  e.  W  <->  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  /\  sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  =  0 ) )
1110baib 872 . . 3  |-  ( X  e.  ( D  \  {  .1.  } )  -> 
( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
124, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  sum_
m  e.  NN  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m )  =  0 ) )
13 nnuz 10513 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
14 1z 10303 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
16 fveq2 5720 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  m  ->  ( L `  a )  =  ( L `  m ) )
1716fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  m )
) )
18 id 20 . . . . . . 7  |-  ( a  =  m  ->  a  =  m )
1917, 18oveq12d 6091 . . . . . 6  |-  ( a  =  m  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  /  a )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
20 dchrvmasumif.f . . . . . 6  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  /  a ) )
21 ovex 6098 . . . . . 6  |-  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e. 
_V
2219, 20, 21fvmpt 5798 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  ( F `  m )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )
2322adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) )
24 rpvmasum.g . . . . . 6  |-  G  =  (DChr `  N )
25 rpvmasum.z . . . . . 6  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
26 rpvmasum.d . . . . . 6  |-  D  =  ( Base `  G
)
27 rpvmasum.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
281adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  X  e.  D )
29 nnz 10295 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
3029adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
3124, 25, 26, 27, 28, 30dchrzrhcl 21021 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( X `
 ( L `  m ) )  e.  CC )
32 nncn 10000 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
3332adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
34 nnne0 10024 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
3534adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  =/=  0 )
3631, 33, 35divcld 9782 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( X `  ( L `
 m ) )  /  m )  e.  CC )
37 dchrvmasumif.s . . . 4  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  S )
3813, 15, 23, 36, 37isumclim 12533 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  S )
3938eqeq1d 2443 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ m  e.  NN  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  =  0  <->  S  = 
0 ) )
4012, 39bitrd 245 1  |-  ( ph  ->  ( X  e.  W  <->  S  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701    \ cdif 3309   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    +oocpnf 9109    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274   [,)cico 10910   |_cfl 11193    seq cseq 11315   abscabs 12031    ~~> cli 12270   sum_csu 12471   Basecbs 13461   0gc0g 13715   ZRHomczrh 16770  ℤ/nczn 16773  DChrcdchr 21008
This theorem is referenced by:  rpvmasum2  21198  dchrisum0re  21199  dchrisum0lem2  21204  dchrisumn0  21207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-imas 13726  df-divs 13727  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-nsg 14934  df-eqg 14935  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-lidl 16238  df-rsp 16239  df-2idl 16295  df-cnfld 16696  df-zrh 16774  df-zn 16777  df-dchr 21009
  Copyright terms: Public domain W3C validator