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Theorem dchrvmasum2if 20646
Description: Combine the results of dchrvmasumlem1 20644 and dchrvmasum2lem 20645 inside a conditional. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2if  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    m, n,  .1.    m, d, n, A   
m, N, n    ph, d, m, n    ps, d, m   
m, Z, n    D, m, n    L, d, m, n    X, d, m, n    A, n
Allowed substitution hints:    ps( n)    D( d)    .1. ( d)    G( m, n, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2if
StepHypRef Expression
1 fzfid 11035 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 rpvmasum.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 rpvmasum.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
4 rpvmasum.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
5 rpvmasum.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
6 dchrisum.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
76adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
8 elfzelz 10798 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
98adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
102, 3, 4, 5, 7, 9dchrzrhcl 20484 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
11 elfznn 10819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
1211adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 20379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1413zred 10117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  RR )
15 nndivre 9781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( mmu `  d
)  e.  RR  /\  d  e.  NN )  ->  ( ( mmu `  d )  /  d
)  e.  RR )
1614, 15mpancom 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  (
( mmu `  d
)  /  d )  e.  RR )
1712, 16syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
1817recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
1910, 18mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
20 fzfid 11035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
217adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 10798 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
2322adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
242, 3, 4, 5, 21, 23dchrzrhcl 20484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
25 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
2625adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2726nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
2827relogcld 19974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  RR )
2928, 26nndivred 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  RR )
3029recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  /  m )  e.  CC )
3124, 30mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  e.  CC )
3220, 31fsumcl 12206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  e.  CC )
3319, 32mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  e.  CC )
34 dchrvmasum.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
3511nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
36 rpdivcl 10376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3734, 35, 36syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
3938, 27rpdivcld 10407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
4039relogcld 19974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
4140, 26nndivred 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
4241recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
4324, 42mulcld 8855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4420, 43fsumcl 12206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
4519, 44mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  e.  CC )
461, 33, 45fsumadd 12211 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  (
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
4738, 27relogdivd 19977 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )
4847oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) ) )
4928recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  m )  e.  CC )
5037relogcld 19974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  RR )
5150recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  e.  CC )
5349, 52pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  m )  +  ( ( log `  ( A  /  d ) )  -  ( log `  m
) ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
5448, 53eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  d
) )  =  ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) ) )
5554oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m ) )
5640recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
5726nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
5826nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
5949, 56, 57, 58divdird 9574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( log `  m
)  +  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6055, 59eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( A  / 
d ) )  /  m )  =  ( ( ( log `  m
)  /  m )  +  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )
6160oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6224, 30, 42adddid 8859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( ( log `  m )  /  m
)  +  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6361, 62eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m
) )  +  ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6463sumeq2dv 12176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) ) )
6520, 31, 43fsumadd 12211 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) )  +  ( ( X `  ( L `
 m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  /  m
) ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6664, 65eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
6766oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6819, 32, 44adddid 8859 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) )  +  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
6967, 68eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7069sumeq2dv 12176 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  +  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
71 rpvmasum.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
72 rpvmasum.1 . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
73 dchrisum.n1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
743, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34dchrvmasumlem1 20644 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) ) )
75 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
763, 5, 71, 2, 4, 72, 6, 73, 34, 75dchrvmasum2lem 20645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
7774, 76oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  ( sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )  +  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) ) )
7846, 70, 773eqtr4rd 2326 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
7978adantr 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
80 iftrue 3571 . . . . 5  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  ( log `  A
) )
8180oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
8281adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  ( log `  A ) ) )
83 iftrue 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ps 
->  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m )  =  ( A  / 
d ) )
8483fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( ps 
->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  ( A  /  d ) ) )
8584oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ps 
->  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) )
8685oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ps 
->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8786sumeq2sdv 12177 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) )
8887oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
8988sumeq2sdv 12177 . . . 4  |-  ( ps 
->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9089adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( A  /  d ) )  /  m ) ) ) )
9179, 82, 903eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
926adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
93 elfzelz 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
9493adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
952, 3, 4, 5, 92, 94dchrzrhcl 20484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
96 elfznn 10819 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
9796adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
98 vmacl 20356 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (Λ `  n )  e.  RR )
99 nndivre 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (Λ `  n )  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
10098, 99mpancom 650 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  RR )
101100recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
(Λ `  n )  /  n )  e.  CC )
10297, 101syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (Λ `  n )  /  n
)  e.  CC )
10395, 102mulcld 8855 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) )  e.  CC )
1041, 103fsumcl 12206 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
105104adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  e.  CC )
106105addid1d 9012 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
107 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
108107adantl 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  if ( ps , 
( log `  A
) ,  0 )  =  0 )
109108oveq2d 5874 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( X `  ( L `  n )
)  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  0 ) )
110 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
ps  ->  if ( ps ,  ( A  / 
d ) ,  m
)  =  m )
111110fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
ps  ->  ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  =  ( log `  m
) )
112111oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( log `  if ( ps , 
( A  /  d
) ,  m ) )  /  m )  =  ( ( log `  m )  /  m
) )
113112oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  =  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
114113sumeq2sdv 12177 . . . . . 6  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) )  = 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  m )  /  m ) ) )
115114oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( -. 
ps  ->  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
116115sumeq2sdv 12177 . . . 4  |-  ( -. 
ps  ->  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) ) )
11774eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  m
)  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( ( X `  ( L `
 n ) )  x.  ( (Λ `  n
)  /  n ) ) )
118116, 117sylan9eqr 2337 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) ) )
119106, 109, 1183eqtr4d 2325 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  ps )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
12091, 119pm2.61dan 766 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( (Λ `  n )  /  n
) )  +  if ( ps ,  ( log `  A ) ,  0 ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  if ( ps ,  ( A  /  d ) ,  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ifcif 3565   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   sum_csu 12158   Basecbs 13148   0gc0g 13400   ZRHomczrh 16451  ℤ/nczn 16454   logclog 19912  Λcvma 20329   mmucmu 20332  DChrcdchr 20471
This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  20651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-divs 13412  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-vma 20335  df-mu 20338  df-dchr 20472
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