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Theorem dchrvmasum2lem 21190
Description: Give an expression for  log x remarkably similar to  sum_ n  <_  x
( X ( n )Λ ( n )  /  n ) given in dchrvmasumlem1 21189. Part of Lemma 9.4.3 of [Shapiro], p. 380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasum.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
dchrvmasum2.2  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasum2lem  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    .1. , m    m, d, A    m, N    ph, d, m    m, Z    D, m    L, d, m    X, d, m
Allowed substitution hints:    D( d)    .1. ( d)    G( m, d)    N( d)    Z( d)

Proof of Theorem dchrvmasum2lem
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( L `  n )  =  ( L `  ( d  x.  m
) ) )
21fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) ) )
3 id 20 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  n  =  ( d  x.  m ) )
42, 3oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) ) )
5 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )
65fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )
74, 6oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) )
87oveq2d 6097 . . 3  |-  ( n  =  ( d  x.  m )  ->  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
9 dchrvmasum.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
109rpred 10648 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
11 elrabi 3090 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ->  d  e.  NN )
1211ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  d  e.  NN )
13 mucl 20924 . . . . . 6  |-  ( d  e.  NN  ->  (
mmu `  d )  e.  ZZ )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
1514zcnd 10376 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
16 rpvmasum.g . . . . . . . 8  |-  G  =  (DChr `  N )
17 rpvmasum.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
18 rpvmasum.d . . . . . . . 8  |-  D  =  ( Base `  G
)
19 rpvmasum.l . . . . . . . 8  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
20 dchrisum.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2120adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
22 elfzelz 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  ZZ )
2322adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
2416, 17, 18, 19, 21, 23dchrzrhcl 21029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  n
) )  e.  CC )
25 elfznn 11080 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
2625adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
2726nncnd 10016 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
2826nnne0d 10044 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
2924, 27, 28divcld 9790 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  e.  CC )
3025nnrpd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  RR+ )
31 rpdivcl 10634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
329, 30, 31syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR+ )
3332relogcld 20518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  RR )
3433recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  n
) )  e.  CC )
3529, 34mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3635adantrr 698 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  e.  CC )
3715, 36mulcld 9108 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  /\  d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n } ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  e.  CC )
388, 10, 37dvdsflsumcom 20973 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) ) ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
39 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( n  =  1  ->  ( L `  n )  =  ( L ` 
1 ) )
4039fveq2d 5732 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( X `  ( L `  n ) )  =  ( X `  ( L `  1 )
) )
41 id 20 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  n  =  1 )
4240, 41oveq12d 6099 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  (
( X `  ( L `  n )
)  /  n )  =  ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 ) )
43 oveq2 6089 . . . . . 6  |-  ( n  =  1  ->  ( A  /  n )  =  ( A  /  1
) )
4443fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( n  =  1  ->  ( log `  ( A  /  n ) )  =  ( log `  ( A  /  1 ) ) )
4542, 44oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( n  =  1  ->  (
( ( X `  ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
46 fzfid 11312 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
4725ssriv 3352 . . . . 5  |-  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  C_  NN
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) 
C_  NN )
49 dchrvmasum2.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <_  A )
50 flge1nn 11226 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  e.  NN )
5110, 49, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  NN )
52 nnuz 10521 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5351, 52syl6eleq 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
54 eluzfz1 11064 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5553, 54syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
5645, 46, 48, 55, 35musumsum 20977 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ d  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  n ) )  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) )  =  ( ( ( X `  ( L `  1 )
)  /  1 )  x.  ( log `  ( A  /  1 ) ) ) )
5716, 17, 18, 19, 20dchrzrh1 21028 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
5857oveq1d 6096 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  ( 1  / 
1 ) )
59 ax-1cn 9048 . . . . . 6  |-  1  e.  CC
6059div1i 9742 . . . . 5  |-  ( 1  /  1 )  =  1
6158, 60syl6eq 2484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X `  ( L `  1 ) )  /  1 )  =  1 )
629rpcnd 10650 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6362div1d 9782 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6463fveq2d 5732 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  1 ) )  =  ( log `  A
) )
6561, 64oveq12d 6099 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( X `
 ( L ` 
1 ) )  / 
1 )  x.  ( log `  ( A  / 
1 ) ) )  =  ( 1  x.  ( log `  A
) ) )
669relogcld 20518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
6766recnd 9114 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
6867mulid2d 9106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
6956, 65, 683eqtrrd 2473 . 2  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )
sum_ d  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  n }  (
( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  n )
)  /  n )  x.  ( log `  ( A  /  n ) ) ) ) )
70 fzfid 11312 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d
) ) )  e. 
Fin )
7120adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  X  e.  D )
72 elfzelz 11059 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  ZZ )
7372adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
7416, 17, 18, 19, 71, 73dchrzrhcl 21029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
75 fznnfl 11243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  (
d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  <->  ( d  e.  NN  /\  d  <_  A ) ) )
7610, 75syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) )  <-> 
( d  e.  NN  /\  d  <_  A )
) )
7776simprbda 607 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  NN )
7877, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  ZZ )
7978zred 10375 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
8079, 77nndivred 10048 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  RR )
8180recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  /  d )  e.  CC )
8274, 81mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  e.  CC )
8320ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  X  e.  D )
84 elfzelz 11059 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8584adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
8616, 17, 18, 19, 83, 85dchrzrhcl 21029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  m
) )  e.  CC )
87 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  NN )
8887nnrpd 10647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  d  e.  RR+ )
89 rpdivcl 10634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  d  e.  RR+ )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
909, 88, 89syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  d )  e.  RR+ )
91 elfznn 11080 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  NN )
9291nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
93 rpdivcl 10634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  /  d
)  e.  RR+  /\  m  e.  RR+ )  ->  (
( A  /  d
)  /  m )  e.  RR+ )
9490, 92, 93syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  e.  RR+ )
9594relogcld 20518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  RR )
9691adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
9795, 96nndivred 10048 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  RR )
9897recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m )  e.  CC )
9986, 98mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
10070, 82, 99fsummulc2 12567 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) ) )
10174adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  d
) )  e.  CC )
10279adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  RR )
103102recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( mmu `  d )  e.  CC )
10477nnrpd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
105104adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  RR+ )
106105rpcnne0d 10657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )
107 div12 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  e.  CC  /\  ( mmu `  d )  e.  CC  /\  (
d  e.  CC  /\  d  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
108101, 103, 106, 107syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) ) )
10995recnd 9114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  e.  CC )
11096nnrpd 10647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
111110rpcnne0d 10657 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
112 div12 9700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X `  ( L `  m )
)  e.  CC  /\  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  e.  CC  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  ->  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
11386, 109, 111, 112syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
114108, 113oveq12d 6099 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  (
( X `  ( L `  d )
)  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
115105rpcnd 10650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  CC )
116105rpne0d 10653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  =/=  0 )
117101, 115, 116divcld 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  d ) )  / 
d )  e.  CC )
11896nncnd 10016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
11996nnne0d 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
12086, 118, 119divcld 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m )  e.  CC )
121117, 120mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  e.  CC )
122103, 109, 121mulassd 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) ) )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  / 
d )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
123103, 117, 109, 120mul4d 9278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  d )  x.  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
12472ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  d  e.  ZZ )
12516, 17, 18, 19, 83, 124, 85dchrzrhmul 21030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( X `  ( L `  (
d  x.  m ) ) )  =  ( ( X `  ( L `  d )
)  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) ) )
126125oveq1d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  x.  ( X `
 ( L `  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) ) )
127 divmuldiv 9714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  e.  CC  /\  ( X `  ( L `
 m ) )  e.  CC )  /\  ( ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
128101, 86, 106, 111, 127syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  =  ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( X `  ( L `  m )
) )  /  (
d  x.  m ) ) )
129126, 128eqtr4d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  =  ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) )
13062ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  A  e.  CC )
131 divdiv1 9725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( d  e.  CC  /\  d  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( A  / 
d )  /  m
)  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
132130, 106, 111, 131syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( ( A  /  d )  /  m )  =  ( A  /  ( d  x.  m ) ) )
133132eqcomd 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( A  /  ( d  x.  m ) )  =  ( ( A  / 
d )  /  m
) )
134133fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( log `  ( A  /  (
d  x.  m ) ) )  =  ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) ) )
135129, 134oveq12d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( ( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) ) )
136121, 109mulcomd 9109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) )  x.  ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) ) )  =  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `  d )
)  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
137135, 136eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) )  =  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  x.  ( ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d )  x.  ( ( X `  ( L `  m ) )  /  m ) ) ) )
138137oveq2d 6097 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  d )  x.  ( ( ( X `
 ( L `  ( d  x.  m
) ) )  / 
( d  x.  m
) )  x.  ( log `  ( A  / 
( d  x.  m
) ) ) ) )  =  ( ( mmu `  d )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( ( X `  ( L `  d ) )  /  d )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  /  m ) ) ) ) )
139122, 123, 1383eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  d
)  x.  ( ( X `  ( L `
 d ) )  /  d ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  / 
d )  /  m
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
140114, 139eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  ( ( mmu `  d
)  x.  ( ( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
141140sumeq2dv 12497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  (
( X `  ( L `  m )
)  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
142100, 141eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( (
( X `  ( L `  d )
)  x.  ( ( mmu `  d )  /  d ) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  / 
d ) ) ) ( ( X `  ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  ( ( A  /  d )  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  / 
d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
143142sumeq2dv 12497 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) )  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( mmu `  d )  x.  (
( ( X `  ( L `  ( d  x.  m ) ) )  /  ( d  x.  m ) )  x.  ( log `  ( A  /  ( d  x.  m ) ) ) ) ) )
14438, 69, 1433eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  =  sum_ d  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( ( X `
 ( L `  d ) )  x.  ( ( mmu `  d )  /  d
) )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  d ) ) ) ( ( X `
 ( L `  m ) )  x.  ( ( log `  (
( A  /  d
)  /  m ) )  /  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    <_ cle 9121    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043   |_cfl 11201   sum_csu 12479    || cdivides 12852   Basecbs 13469   0gc0g 13723   ZRHomczrh 16778  ℤ/nczn 16781   logclog 20452   mmucmu 20877  DChrcdchr 21016
This theorem is referenced by:  dchrvmasum2if  21191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-ec 6907  df-qs 6911  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-divs 13735  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-mhm 14738  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-sbg 14814  df-mulg 14815  df-subg 14941  df-nsg 14942  df-eqg 14943  df-ghm 15004  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-rnghom 15819  df-subrg 15866  df-lmod 15952  df-lss 16009  df-lsp 16048  df-sra 16244  df-rgmod 16245  df-lidl 16246  df-rsp 16247  df-2idl 16303  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-zrh 16782  df-zn 16785  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-mu 20883  df-dchr 21017
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