MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Unicode version

Theorem dchrvmasumlema 20665
Description: Lemma for dchrvmasum 20690 and dchrvmasumif 20668. Apply dchrisum 20657 for the function  log ( y )  /  y, which is decreasing above  _e (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
rpvmasum.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
rpvmasum.a  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
rpvmasum.g  |-  G  =  (DChr `  N )
rpvmasum.d  |-  D  =  ( Base `  G
)
rpvmasum.1  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
dchrisum.b  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrisum.n1  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
dchrvmasumlema.f  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    t, c,
y,  .1.    F, c, t, y    a, c, t, y    N, c, t, y    ph, c, t    y, Z    D, c, t, y    L, a, c, t, y    X, a, c, t, y
Allowed substitution hints:    ph( y, a)    D( a)    .1. ( a)    F( a)    G( y, t, a, c)    N( a)    Z( t, a, c)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
2 rpvmasum.l . . 3  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
3 rpvmasum.a . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
4 rpvmasum.g . . 3  |-  G  =  (DChr `  N )
5 rpvmasum.d . . 3  |-  D  =  ( Base `  G
)
6 rpvmasum.1 . . 3  |-  .1.  =  ( 0g `  G )
7 dchrisum.b . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
8 dchrisum.n1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  =/=  .1.  )
9 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  ( log `  n )  =  ( log `  x
) )
10 id 19 . . . 4  |-  ( n  =  x  ->  n  =  x )
119, 10oveq12d 5892 . . 3  |-  ( n  =  x  ->  (
( log `  n
)  /  n )  =  ( ( log `  x )  /  x
) )
12 3nn 9894 . . . 4  |-  3  e.  NN
1312a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
14 relogcl 19948 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( log `  n )  e.  RR )
15 rerpdivcl 10397 . . . . 5  |-  ( ( ( log `  n
)  e.  RR  /\  n  e.  RR+ )  -> 
( ( log `  n
)  /  n )  e.  RR )
1614, 15mpancom 650 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
1716adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  RR+ )  ->  ( ( log `  n )  /  n )  e.  RR )
18 simp3r 984 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  <_  x
)
19 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR+ )
2019rpred 10406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  n  e.  RR )
21 ere 12386 . . . . . . 7  |-  _e  e.  RR
2221a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  e.  RR )
23 3re 9833 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  e.  RR )
25 egt2lt3 12500 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  <  _e  /\  _e  <  3 )
2625simpri 448 . . . . . . . 8  |-  _e  <  3
2721, 23, 26ltleii 8957 . . . . . . 7  |-  _e  <_  3
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  3
)
29 simp3l 983 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  3  <_  n
)
3022, 24, 20, 28, 29letrd 8989 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  n
)
31 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR+ )
3231rpred 10406 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  x  e.  RR )
3322, 20, 32, 30, 18letrd 8989 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  _e  <_  x
)
34 logdivle 19989 . . . . 5  |-  ( ( ( n  e.  RR  /\  _e  <_  n )  /\  ( x  e.  RR  /\  _e  <_  x )
)  ->  ( n  <_  x  <->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 1183 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( n  <_  x 
<->  ( ( log `  x
)  /  x )  <_  ( ( log `  n )  /  n
) ) )
3618, 35mpbid 201 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  /\  (
3  <_  n  /\  n  <_  x ) )  ->  ( ( log `  x )  /  x
)  <_  ( ( log `  n )  /  n ) )
37 rpcn 10378 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  RR+  ->  n  e.  CC )
3837cxp1d 20069 . . . . . 6  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  ^ c  1 )  =  n )
3938oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  1 ) )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
4039mpteq2ia 4118 . . . 4  |-  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  1 ) ) )  =  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  n ) )
41 1rp 10374 . . . . 5  |-  1  e.  RR+
42 cxploglim 20288 . . . . 5  |-  ( 1  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n )  /  ( n  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4341, 42mp1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  ( n  ^ c  1 ) ) )  ~~> r  0 )
4440, 43syl5eqbrr 4073 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  RR+  |->  ( ( log `  n
)  /  n ) )  ~~> r  0 )
45 dchrvmasumlema.f . . . 4  |-  F  =  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a ) ) )
46 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( L `  a )  =  ( L `  n ) )
4746fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  ( X `  ( L `  a ) )  =  ( X `  ( L `  n )
) )
48 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  ( log `  a )  =  ( log `  n
) )
49 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  n  ->  a  =  n )
5048, 49oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( a  =  n  ->  (
( log `  a
)  /  a )  =  ( ( log `  n )  /  n
) )
5147, 50oveq12d 5892 . . . . 5  |-  ( a  =  n  ->  (
( X `  ( L `  a )
)  x.  ( ( log `  a )  /  a ) )  =  ( ( X `
 ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n
)  /  n ) ) )
5251cbvmptv 4127 . . . 4  |-  ( a  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `
 a ) )  x.  ( ( log `  a )  /  a
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
5345, 52eqtri 2316 . . 3  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( X `  ( L `  n ) )  x.  ( ( log `  n )  /  n ) ) )
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 53dchrisum 20657 . 2  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) ) )
55 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  y
) )
5655fveq2d 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) ) )
5756oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t )  =  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )
5857fveq2d 5545 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  ( (  seq  1 (  +  ,  F ) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  =  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) ) )
59 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( log `  x )  =  ( log `  y
) )
60 id 19 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
6159, 60oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( log `  x
)  /  x )  =  ( ( log `  y )  /  y
) )
6261oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
c  x.  ( ( log `  x )  /  x ) )  =  ( c  x.  ( ( log `  y
)  /  y ) ) )
6358, 62breq12d 4052 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) )  <->  ( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6463cbvralv 2777 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) )  <->  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo )
( abs `  (
(  seq  1 (  +  ,  F ) `
 ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) )
6564anbi2i 675 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6665rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6766exbii 1572 . 2  |-  ( E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. x  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  x ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  x
)  /  x ) ) )  <->  E. t E. c  e.  (
0 [,)  +oo ) (  seq  1 (  +  ,  F )  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
6854, 67sylib 188 1  |-  ( ph  ->  E. t E. c  e.  ( 0 [,)  +oo ) (  seq  1
(  +  ,  F
)  ~~>  t  /\  A. y  e.  ( 3 [,)  +oo ) ( abs `  ( (  seq  1
(  +  ,  F
) `  ( |_ `  y ) )  -  t ) )  <_ 
( c  x.  (
( log `  y
)  /  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   RR+crp 10370   [,)cico 10674   |_cfl 10940    seq cseq 11062   abscabs 11735    ~~> cli 11974    ~~> r crli 11975   _eceu 12360   Basecbs 13164   0gc0g 13416   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470   logclog 19928    ^ c ccxp 19929  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  20668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-phi 12850  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-divs 13428  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator