Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrvmasumlema Structured version   Unicode version

Theorem dchrvmasumlema 21184
 Description: Lemma for dchrvmasum 21209 and dchrvmasumif 21187. Apply dchrisum 21176 for the function , which is decreasing above (or above 3, the nearest integer bound). (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z ℤ/n
rpvmasum.l RHom
rpvmasum.a
rpvmasum.g DChr
rpvmasum.d
rpvmasum.1
dchrisum.b
dchrisum.n1
dchrvmasumlema.f
Assertion
Ref Expression
dchrvmasumlema
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,   ,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   ()   (,,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem dchrvmasumlema
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpvmasum.z . . 3 ℤ/n
2 rpvmasum.l . . 3 RHom
3 rpvmasum.a . . 3
4 rpvmasum.g . . 3 DChr
5 rpvmasum.d . . 3
6 rpvmasum.1 . . 3
7 dchrisum.b . . 3
8 dchrisum.n1 . . 3
9 fveq2 5720 . . . 4
10 id 20 . . . 4
119, 10oveq12d 6091 . . 3
12 3nn 10124 . . . 4
1312a1i 11 . . 3
14 relogcl 20463 . . . . 5
15 rerpdivcl 10629 . . . . 5
1614, 15mpancom 651 . . . 4
18 simp3r 986 . . . 4
19 simp2l 983 . . . . . 6
2019rpred 10638 . . . . 5
21 ere 12681 . . . . . . 7
2221a1i 11 . . . . . 6
23 3re 10061 . . . . . . 7
2423a1i 11 . . . . . 6
25 egt2lt3 12795 . . . . . . . . 9
2625simpri 449 . . . . . . . 8
2721, 23, 26ltleii 9186 . . . . . . 7
2827a1i 11 . . . . . 6
29 simp3l 985 . . . . . 6
3022, 24, 20, 28, 29letrd 9217 . . . . 5
31 simp2r 984 . . . . . 6
3231rpred 10638 . . . . 5
3322, 20, 32, 30, 18letrd 9217 . . . . 5
34 logdivle 20507 . . . . 5
3520, 30, 32, 33, 34syl22anc 1185 . . . 4
3618, 35mpbid 202 . . 3
37 rpcn 10610 . . . . . . 7
3837cxp1d 20587 . . . . . 6
3938oveq2d 6089 . . . . 5
4039mpteq2ia 4283 . . . 4
41 1rp 10606 . . . . 5
42 cxploglim 20806 . . . . 5
4341, 42mp1i 12 . . . 4
4440, 43syl5eqbrr 4238 . . 3
45 dchrvmasumlema.f . . . 4
46 fveq2 5720 . . . . . . 7
4746fveq2d 5724 . . . . . 6
48 fveq2 5720 . . . . . . 7
49 id 20 . . . . . . 7
5048, 49oveq12d 6091 . . . . . 6
5147, 50oveq12d 6091 . . . . 5
5251cbvmptv 4292 . . . 4
5345, 52eqtri 2455 . . 3
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 13, 17, 36, 44, 53dchrisum 21176 . 2
55 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10
5655fveq2d 5724 . . . . . . . . 9
5756oveq1d 6088 . . . . . . . 8
5857fveq2d 5724 . . . . . . 7
59 fveq2 5720 . . . . . . . . 9
60 id 20 . . . . . . . . 9
6159, 60oveq12d 6091 . . . . . . . 8
6261oveq2d 6089 . . . . . . 7
6358, 62breq12d 4217 . . . . . 6
6463cbvralv 2924 . . . . 5
6564anbi2i 676 . . . 4
6665rexbii 2722 . . 3
6766exbii 1592 . 2
6854, 67sylib 189 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  wrex 2698   class class class wbr 4204   cmpt 4258  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8979  cc0 8980  c1 8981   caddc 8983   cmul 8985   cpnf 9107   clt 9110   cle 9111   cmin 9281   cdiv 9667  cn 9990  c2 10039  c3 10040  crp 10602  cico 10908  cfl 11191   cseq 11313  cabs 12029   cli 12268   crli 12269  ceu 12655  cbs 13459  c0g 13713  RHomczrh 16768  ℤ/nℤczn 16771  clog 20442   ccxp 20443  DChrcdchr 21006 This theorem is referenced by:  dchrvmasumif  21187 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058  ax-addf 9059  ax-mulf 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-xneg 10700  df-xadd 10701  df-xmul 10702  df-ioo 10910  df-ioc 10911  df-ico 10912  df-icc 10913  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-shft 11872  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-limsup 12255  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ef 12660  df-e 12661  df-sin 12662  df-cos 12663  df-pi 12665  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-phi 13145  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-starv 13534  df-sca 13535  df-vsca 13536  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ds 13541  df-unif 13542  df-hom 13543  df-cco 13544  df-rest 13640  df-topn 13641  df-topgen 13657  df-pt 13658  df-prds 13661  df-xrs 13716  df-0g 13717  df-gsum 13718  df-qtop 13723  df-imas 13724  df-divs 13725  df-xps 13726  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-mhm 14728  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-nsg 14932  df-eqg 14933  df-ghm 14994  df-cntz 15106  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-cring 15654  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-rnghom 15809  df-subrg 15856  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-sra 16234  df-rgmod 16235  df-lidl 16236  df-rsp 16237  df-2idl 16293  df-psmet 16684  df-xmet 16685  df-met 16686  df-bl 16687  df-mopn 16688  df-fbas 16689  df-fg 16690  df-cnfld 16694  df-zrh 16772  df-zn 16775  df-top 16953  df-bases 16955  df-topon 16956  df-topsp 16957  df-cld 17073  df-ntr 17074  df-cls 17075  df-nei 17152  df-lp 17190  df-perf 17191  df-cn 17281  df-cnp 17282  df-haus 17369  df-tx 17584  df-hmeo 17777  df-fil 17868  df-fm 17960  df-flim 17961  df-flf 17962  df-xms 18340  df-ms 18341  df-tms 18342  df-cncf 18898  df-limc 19743  df-dv 19744  df-log 20444  df-cxp 20445  df-dchr 21007
 Copyright terms: Public domain W3C validator