MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrh1 Unicode version

Theorem dchrzrh1 20499
Description: Value of a Dirichlet character at one. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrelbas4.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
dchrzrh1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
Assertion
Ref Expression
dchrzrh1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )

Proof of Theorem dchrzrh1
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.b . . . . . . . . 9  |-  D  =  ( Base `  G
)
42, 3dchrrcl 20495 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10034 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 dchrmhm.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
87zncrng 16514 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
96, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
10 crngrng 15367 . . . . 5  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
119, 10syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
12 dchrelbas4.l . . . . 5  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
13 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 1r `  Z
)
1412, 13zrh1 16483 . . . 4  |-  ( Z  e.  Ring  ->  ( L `
 1 )  =  ( 1r `  Z
) )
1511, 14syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  1
)  =  ( 1r
`  Z ) )
1615fveq2d 5545 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  ( X `
 ( 1r `  Z ) ) )
172, 7, 3dchrmhm 20496 . . . 4  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
1817, 1sseldi 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
19 eqid 2296 . . . . 5  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
2019, 13rngidval 15359 . . . 4  |-  ( 1r
`  Z )  =  ( 0g `  (mulGrp `  Z ) )
21 eqid 2296 . . . . 5  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
22 cnfld1 16415 . . . . 5  |-  1  =  ( 1r ` fld )
2321, 22rngidval 15359 . . . 4  |-  1  =  ( 0g `  (mulGrp ` fld ) )
2420, 23mhm0 14439 . . 3  |-  ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
2518, 24syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( 1r `  Z ) )  =  1 )
2616, 25eqtrd 2328 1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  1 )
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   Basecbs 13164   MndHom cmhm 14429  mulGrpcmgp 15341   Ringcrg 15353   CRingccrg 15354   1rcur 15355  ℂfldccnfld 16393   ZRHomczrh 16467  ℤ/nczn 16470  DChrcdchr 20487
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  20659  dchrvmasum2lem  20661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-0g 13420  df-imas 13427  df-divs 13428  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-nsg 14635  df-eqg 14636  df-ghm 14697  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-sra 15941  df-rgmod 15942  df-lidl 15943  df-rsp 15944  df-2idl 16000  df-cnfld 16394  df-zrh 16471  df-zn 16474  df-dchr 20488
  Copyright terms: Public domain W3C validator