MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Unicode version

Theorem dchrzrhmul 21031
Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g  |-  G  =  (DChr `  N )
dchrmhm.z  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
dchrmhm.b  |-  D  =  ( Base `  G
)
dchrelbas4.l  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
dchrzrh1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
dchrzrh1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
dchrzrh1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  A ) )  x.  ( X `  ( L `  C )
) ) )

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  (DChr `  N )
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( Base `  G
)
42, 3dchrrcl 21025 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  D  ->  N  e.  NN )
51, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
65nnnn0d 10275 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8  |-  Z  =  (ℤ/n `  N )
87zncrng 16826 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  Z  e. 
CRing )
96, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  CRing )
10 crngrng 15675 . . . . . 6  |-  ( Z  e.  CRing  ->  Z  e.  Ring )
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
12 eqid 2437 . . . . . 6  |-  (flds  ZZ )  =  (flds  ZZ )
13 dchrelbas4.l . . . . . 6  |-  L  =  ( ZRHom `  Z
)
1412, 13zrhrhm 16794 . . . . 5  |-  ( Z  e.  Ring  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z ) )
1511, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z ) )
16 dchrzrh1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
17 dchrzrh1.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
18 zsscn 10291 . . . . . 6  |-  ZZ  C_  CC
19 cnfldbas 16708 . . . . . . 7  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2012, 19ressbas2 13521 . . . . . 6  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) ) )
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base `  (flds  ZZ ) )
22 zex 10292 . . . . . 6  |-  ZZ  e.  _V
23 cnfldmul 16710 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` fld )
2412, 23ressmulr 13583 . . . . . 6  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) ) )
2522, 24ax-mp 8 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r `  (flds  ZZ ) )
26 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( .r
`  Z )  =  ( .r `  Z
)
2721, 25, 26rhmmul 15829 . . . 4  |-  ( ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z )  /\  A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( L `  ( A  x.  C ) )  =  ( ( L `  A ) ( .r
`  Z ) ( L `  C ) ) )
2815, 16, 17, 27syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  ( A  x.  C )
)  =  ( ( L `  A ) ( .r `  Z
) ( L `  C ) ) )
2928fveq2d 5733 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( X `  ( ( L `  A ) ( .r
`  Z ) ( L `  C ) ) ) )
302, 7, 3dchrmhm 21026 . . . 4  |-  D  C_  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld ) )
3130, 1sseldi 3347 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
) )
32 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
3321, 32rhmf 15828 . . . . 5  |-  ( L  e.  ( (flds  ZZ ) RingHom  Z )  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z )
)
3415, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  L : ZZ --> ( Base `  Z ) )
3534, 16ffvelrnd 5872 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  A
)  e.  ( Base `  Z ) )
3634, 17ffvelrnd 5872 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L `  C
)  e.  ( Base `  Z ) )
37 eqid 2437 . . . . 5  |-  (mulGrp `  Z )  =  (mulGrp `  Z )
3837, 32mgpbas 15655 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  (mulGrp `  Z
) )
3937, 26mgpplusg 15653 . . . 4  |-  ( .r
`  Z )  =  ( +g  `  (mulGrp `  Z ) )
40 eqid 2437 . . . . 5  |-  (mulGrp ` fld )  =  (mulGrp ` fld )
4140, 23mgpplusg 15653 . . . 4  |-  x.  =  ( +g  `  (mulGrp ` fld )
)
4238, 39, 41mhmlin 14746 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( (mulGrp `  Z ) MndHom  (mulGrp ` fld )
)  /\  ( L `  A )  e.  (
Base `  Z )  /\  ( L `  C
)  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( X `  (
( L `  A
) ( .r `  Z ) ( L `
 C ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 A ) )  x.  ( X `  ( L `  C ) ) ) )
4331, 35, 36, 42syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( X `  (
( L `  A
) ( .r `  Z ) ( L `
 C ) ) )  =  ( ( X `  ( L `
 A ) )  x.  ( X `  ( L `  C ) ) ) )
4429, 43eqtrd 2469 1  |-  ( ph  ->  ( X `  ( L `  ( A  x.  C ) ) )  =  ( ( X `
 ( L `  A ) )  x.  ( X `  ( L `  C )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   -->wf 5451   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989    x. cmul 8996   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   Basecbs 13470   ↾s cress 13471   .rcmulr 13531   MndHom cmhm 14737  mulGrpcmgp 15649   Ringcrg 15661   CRingccrg 15662   RingHom crh 15818  ℂfldccnfld 16704   ZRHomczrh 16779  ℤ/nczn 16782  DChrcdchr 21017
This theorem is referenced by:  dchrmusum2  21189  dchrvmasumlem1  21190  dchrvmasum2lem  21191  dchrisum0fmul  21201
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-0g 13728  df-imas 13735  df-divs 13736  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-nsg 14943  df-eqg 14944  df-ghm 15005  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-rnghom 15820  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-lidl 16247  df-rsp 16248  df-2idl 16304  df-cnfld 16705  df-zrh 16783  df-zn 16786  df-dchr 21018
  Copyright terms: Public domain W3C validator