Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrzrhmul Structured version   Unicode version

Theorem dchrzrhmul 21031
 Description: A Dirichlet character is completely multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dchrmhm.g DChr
dchrmhm.z ℤ/n
dchrmhm.b
dchrelbas4.l RHom
dchrzrh1.x
dchrzrh1.a
dchrzrh1.c
Assertion
Ref Expression
dchrzrhmul

Proof of Theorem dchrzrhmul
StepHypRef Expression
1 dchrzrh1.x . . . . . . . . 9
2 dchrmhm.g . . . . . . . . . 10 DChr
3 dchrmhm.b . . . . . . . . . 10
42, 3dchrrcl 21025 . . . . . . . . 9
51, 4syl 16 . . . . . . . 8
65nnnn0d 10275 . . . . . . 7
7 dchrmhm.z . . . . . . . 8 ℤ/n
87zncrng 16826 . . . . . . 7
96, 8syl 16 . . . . . 6
10 crngrng 15675 . . . . . 6
119, 10syl 16 . . . . 5
12 eqid 2437 . . . . . 6 flds flds
13 dchrelbas4.l . . . . . 6 RHom
1412, 13zrhrhm 16794 . . . . 5 flds RingHom
1511, 14syl 16 . . . 4 flds RingHom
16 dchrzrh1.a . . . 4
17 dchrzrh1.c . . . 4
18 zsscn 10291 . . . . . 6
19 cnfldbas 16708 . . . . . . 7 fld
2012, 19ressbas2 13521 . . . . . 6 flds
2118, 20ax-mp 8 . . . . 5 flds
22 zex 10292 . . . . . 6
23 cnfldmul 16710 . . . . . . 7 fld
2412, 23ressmulr 13583 . . . . . 6 flds
2522, 24ax-mp 8 . . . . 5 flds
26 eqid 2437 . . . . 5
2721, 25, 26rhmmul 15829 . . . 4 flds RingHom
2815, 16, 17, 27syl3anc 1185 . . 3
2928fveq2d 5733 . 2
302, 7, 3dchrmhm 21026 . . . 4 mulGrp MndHom mulGrpfld
3130, 1sseldi 3347 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
32 eqid 2437 . . . . . 6
3321, 32rhmf 15828 . . . . 5 flds RingHom
3415, 33syl 16 . . . 4
3534, 16ffvelrnd 5872 . . 3
3634, 17ffvelrnd 5872 . . 3
37 eqid 2437 . . . . 5 mulGrp mulGrp
3837, 32mgpbas 15655 . . . 4 mulGrp
3937, 26mgpplusg 15653 . . . 4 mulGrp
40 eqid 2437 . . . . 5 mulGrpfld mulGrpfld
4140, 23mgpplusg 15653 . . . 4 mulGrpfld
4238, 39, 41mhmlin 14746 . . 3 mulGrp MndHom mulGrpfld
4331, 35, 36, 42syl3anc 1185 . 2
4429, 43eqtrd 2469 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1653   wcel 1726  cvv 2957   wss 3321  wf 5451  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc 8989   cmul 8996  cn 10001  cn0 10222  cz 10283  cbs 13470   ↾s cress 13471  cmulr 13531   MndHom cmhm 14737  mulGrpcmgp 15649  crg 15661  ccrg 15662   RingHom crh 15818  ℂfldccnfld 16704  RHomczrh 16779  ℤ/nℤczn 16782  DChrcdchr 21017 This theorem is referenced by:  dchrmusum2  21189  dchrvmasumlem1  21190  dchrvmasum2lem  21191  dchrisum0fmul  21201 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-addf 9070  ax-mulf 9071 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-seq 11325  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-0g 13728  df-imas 13735  df-divs 13736  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-nsg 14943  df-eqg 14944  df-ghm 15005  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-rnghom 15820  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-lidl 16247  df-rsp 16248  df-2idl 16304  df-cnfld 16705  df-zrh 16783  df-zn 16786  df-dchr 21018
 Copyright terms: Public domain W3C validator