Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcomex Structured version   Unicode version

Theorem dcomex 8319
 Description: The Axiom of Dependent Choice implies Infinity, the way we have stated it. Thus, we have Inf+AC implies DC and DC implies Inf, but AC does not imply Inf. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
dcomex

Proof of Theorem dcomex
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snex 4397 . . 3
2 1on 6723 . . . . . . . . . 10
32elexi 2957 . . . . . . . . 9
43, 3fvsn 5918 . . . . . . . 8
53, 3funsn 5491 . . . . . . . . 9
63snid 3833 . . . . . . . . . 10
73dmsnop 5336 . . . . . . . . . 10
86, 7eleqtrri 2508 . . . . . . . . 9
9 funbrfvb 5761 . . . . . . . . 9
105, 8, 9mp2an 654 . . . . . . . 8
114, 10mpbi 200 . . . . . . 7
12 breq12 4209 . . . . . . . 8
133, 3, 12spc2ev 3036 . . . . . . 7
1411, 13ax-mp 8 . . . . . 6
15 breq 4206 . . . . . . 7
16152exbidv 1638 . . . . . 6
1714, 16mpbiri 225 . . . . 5
18 ssid 3359 . . . . . . 7
193rnsnop 5342 . . . . . . 7
2018, 19, 73sstr4i 3379 . . . . . 6
21 rneq 5087 . . . . . . 7
22 dmeq 5062 . . . . . . 7
2321, 22sseq12d 3369 . . . . . 6
2420, 23mpbiri 225 . . . . 5
25 pm5.5 327 . . . . 5
2617, 24, 25syl2anc 643 . . . 4
27 breq 4206 . . . . . 6
2827ralbidv 2717 . . . . 5
2928exbidv 1636 . . . 4
3026, 29bitrd 245 . . 3
31 ax-dc 8318 . . 3
321, 30, 31vtocl 2998 . 2
33 1n0 6731 . . . . . . . 8
34 df-br 4205 . . . . . . . . 9
35 elsni 3830 . . . . . . . . . 10
36 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11
37 fvex 5734 . . . . . . . . . . 11
3836, 37opth1 4426 . . . . . . . . . 10
3935, 38syl 16 . . . . . . . . 9
4034, 39sylbi 188 . . . . . . . 8
41 tz6.12i 5743 . . . . . . . 8
4233, 40, 41mpsyl 61 . . . . . . 7
43 vex 2951 . . . . . . . 8
4443, 3breldm 5066 . . . . . . 7
4542, 44syl 16 . . . . . 6
4645ralimi 2773 . . . . 5
47 dfss3 3330 . . . . 5
4846, 47sylibr 204 . . . 4
49 vex 2951 . . . . . 6
5049dmex 5124 . . . . 5
5150ssex 4339 . . . 4
5248, 51syl 16 . . 3
5352exlimiv 1644 . 2
5432, 53ax-mp 8 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359  wex 1550   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wral 2697  cvv 2948   wss 3312  c0 3620  csn 3806  cop 3809   class class class wbr 4204  con0 4573   csuc 4575  com 4837   cdm 4870   crn 4871   wfun 5440  cfv 5446  c1o 6709 This theorem is referenced by:  axdc2lem  8320  axdc3lem  8322  axdc4lem  8327  axcclem  8329 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-dc 8318 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-1o 6716
 Copyright terms: Public domain W3C validator