Theorem dcsda 10637

Description: (dom` T) and (cod` T) have the same domain.

Hypotheses

Ref	Expression
dcsda.1	|- D = (dom` T)
dcsda.2	|- C = (cod` T)

Assertion

Ref	Expression
dcsda	|- (T e. Alg -> dom D = dom C)

Proof of Theorem dcsda

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1478	. . 3 |- dom D = dom D
2		dcsda.1	. . 3 |- D = (dom` T)
3		eqid 1478	. . 3 |- dom (id` T) = dom (id` T)
4		eqid 1478	. . 3 |- (id` T) = (id` T)
5		dcsda.2	. . 3 |- C = (cod` T)
6	1, 2, 3, 4, 5	coda 10633	. 2 |- (T e. Alg -> C:dom D-->dom (id` T))
7		fdm 3637	. . 3 |- (C:dom D-->dom (id` T) -> dom C = dom D)
8	7	eqcomd 1483	. 2 |- (C:dom D-->dom (id` T) -> dom D = dom C)
9	6, 8	syl 10	1 |- (T e. Alg -> dom D = dom C)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 958   e. wcel 960  dom cdm 3176  -->wf 3184  ` cfv 3188  Algcalg 10614  domcdom_ 10615  codccod_ 10616  idcid_ 10617

This theorem is referenced by:  rcmob 10653

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-alg 10619  df-doma 10620  df-coda 10621  df-ida 10622  df-cmpa 10623

Copyright terms: Public domain