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Theorem dcubic 20142
Description: Solutions to the depressed cubic, a special case of cubic 20145. (The definitions of  M ,  N ,  G ,  T here differ from mcubic 20143 by scale factors of  -u 9,  5 4,  5 4 and  -u 2
7 respectively, to simplify the algebra and presentation.) (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
dcubic  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    M, r    P, r    ph, r    Q, r    T, r    X, r
Allowed substitution hints:    G( r)    N( r)

Proof of Theorem dcubic
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dcubic.0 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
21adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  =/=  0 )
3 dcubic.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  T  e.  CC )
5 3nn 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
65nnzi 10047 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  ZZ
7 expne0i 11134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 )
86, 7mp3an3 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  CC  /\  T  =/=  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =/=  0 )
98ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  CC  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
104, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  ( T ^ 3 )  =/=  0 ) )
11 dcubic.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
1211ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
13 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  e.  CC )
15 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
1615ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
17 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
1817ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
19 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  X  = 
0 )
2019oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  ( P  x.  0 ) )
21 dcubic.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  P  e.  CC )
2322mul01d 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  0 )  =  0 )
2420, 23eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  =  0 )
2524oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  ( 0  +  Q ) )
2619oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
27 0exp 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 3  e.  NN  ->  (
0 ^ 3 )  =  0 )
285, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0 ^ 3 )  =  0
2926, 28syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 3 )  =  0 )
3029oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
31 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
32 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  0  e.  CC
3332a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  0  e.  CC )
3424, 33eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( P  x.  X )  e.  CC )
35 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
3635ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  e.  CC )
3734, 36addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  e.  CC )
3837addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )
3930, 31, 383eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q )  =  0 )
4036addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  Q )  =  Q )
4125, 39, 403eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  Q  = 
0 )
4241oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  ( 0  /  2
) )
43 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
44 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
4543, 44div0i 9494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0  /  2 )  =  0
4642, 45syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( Q  /  2 )  =  0 )
4718, 46eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  N  = 
0 )
4847oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( N ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
49 sq0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
5048, 49syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( N ^ 2 )  =  0 )
5119oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
5251, 49syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( X ^ 2 )  =  0 )
5352oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  ( 0  +  ( 4  x.  M ) ) )
54 dcubic.x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
5554sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
56 4cn 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  4  e.  CC
57 dcubic.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
58 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  3  e.  CC
5958a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
60 3ne0 9831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  3  =/=  0
6160a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
6221, 59, 61divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
6357, 62eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
64 mulcl 8821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6556, 63, 64sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( 4  x.  M
)  e.  CC )
6655, 65addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  e.  CC )
6766ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  e.  CC )
68 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )
6967, 68sqr00d 11923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) )  =  0 )
7065ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  e.  CC )
7170addid2d 9013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 0  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( 4  x.  M
) )
7253, 69, 713eqtr3rd 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  0 )
7356mul01i 9002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 4  x.  0 )  =  0
7472, 73syl6eqr 2333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( 4  x.  M )  =  ( 4  x.  0 ) )
7563ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  e.  CC )
7656a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  e.  CC )
77 4nn 9879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  4  e.  NN
7877nnne0i 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  =/=  0
7978a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  4  =/=  0 )
8075, 33, 76, 79mulcand 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( (
4  x.  M )  =  ( 4  x.  0 )  <->  M  = 
0 ) )
8174, 80mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  M  = 
0 )
8281oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
8382, 28syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( M ^ 3 )  =  0 )
8450, 83oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
85 00id 8987 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8684, 85syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^ 3 ) )  =  0 )
8716, 86eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  0 )
8814, 87sqeq0d 11244 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  G  = 
0 )
8988, 47oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  ( 0  -  0 ) )
9032subidi 9117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  0 )  =  0
9189, 90syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( G  -  N )  =  0 )
9212, 91eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( X  =  0  /\  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  0 )
9392ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 )  -> 
( T ^ 3 )  =  0 ) )
9493necon3ad 2482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( ( T ^ 3 )  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
9510, 94syld 40 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( T  =/=  0  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
962, 95mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
97 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  +  0 ) )
9897, 85syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
99 oveq12 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( 0  -  0 ) )
10099, 90syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 )
10198, 100jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 )  ->  (
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0 ) )
10266sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )
103 halfaddsub 9945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  e.  CC  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
10454, 102, 103syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  X  /\  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  -  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
105104simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  X )
106105eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  X  = 
0 ) )
107104simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  -  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )  =  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )
108107eqeq1d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0  <->  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )
109106, 108anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  +  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  =  0  /\  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  -  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  =  0 )  <->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 ) ) )
110101, 109syl5ib 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0 )  ->  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) ) )
111110con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  -.  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =  0  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
112 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  e.  CC )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  e.  CC )
11463adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  M  e.  CC )
115 eldifsni 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  ->  u  =/=  0
)
116115adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  u  =/=  0 )
117114, 113, 116divcld 9536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  /  u
)  e.  CC )
11854adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  X  e.  CC )
119113, 117, 118subaddd 9175 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  -  ( M  /  u
) )  =  X  <-> 
( ( M  /  u )  +  X
)  =  u ) )
120 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( u  -  ( M  /  u ) )  =  X )
121 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  ( ( M  /  u )  +  X )  <->  ( ( M  /  u )  +  X )  =  u )
122119, 120, 1213bitr4g 279 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
123113sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  e.  CC )
124118, 113mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  x.  u
)  e.  CC )
125124, 114addcld 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  e.  CC )
126 subeq0 9073 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( u ^ 2 )  e.  CC  /\  ( ( X  x.  u )  +  M
)  e.  CC )  ->  ( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M ) )  =  0  <->  ( u ^
2 )  =  ( ( X  x.  u
)  +  M ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u ^ 2 )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
128113sqvald 11242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u ^ 2 )  =  ( u  x.  u ) )
129117, 118, 113adddird 8860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  +  X )  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  x.  u )  +  ( X  x.  u ) ) )
130114, 113, 116divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  x.  u
)  =  M )
131130oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( M  /  u )  x.  u )  +  ( X  x.  u ) )  =  ( M  +  ( X  x.  u ) ) )
132114, 124addcomd 9014 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( M  +  ( X  x.  u ) )  =  ( ( X  x.  u )  +  M ) )
133129, 131, 1323eqtrrd 2320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) )
134128, 133eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  =  ( ( X  x.  u
)  +  M )  <-> 
( u  x.  u
)  =  ( ( ( M  /  u
)  +  X )  x.  u ) ) )
135117, 118addcld 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( M  /  u )  +  X
)  e.  CC )
136113, 135, 113, 116mulcan2d 9402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  x.  u )  =  ( ( ( M  /  u )  +  X
)  x.  u )  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
137127, 134, 1363bitrd 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
u  =  ( ( M  /  u )  +  X ) ) )
138 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
139138a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  e.  CC )
140 ax-1ne0 8806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =/=  0
141140a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
1  =/=  0 )
14254negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  e.  CC )
143142adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u X  e.  CC )
14463negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u M  e.  CC )
145144adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u M  e.  CC )
146 sqneg 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  CC  ->  ( -u X ^ 2 )  =  ( X ^
2 ) )
147118, 146syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X ^ 2 )  =  ( X ^ 2 ) )
148145mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  -u M
)  =  -u M
)
149148oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  ( 4  x.  -u M
) )
150 mulneg2 9217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  M  e.  CC )  ->  ( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
15156, 114, 150sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  -u M
)  =  -u (
4  x.  M ) )
152149, 151eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  (
1  x.  -u M
) )  =  -u ( 4  x.  M
) )
153147, 152oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  (
1  x.  -u M
) ) )  =  ( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) ) )
15455adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X ^ 2 )  e.  CC )
15565adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 4  x.  M
)  e.  CC )
156154, 155subnegd 9164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  -  -u (
4  x.  M ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )
157153, 156eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) )  =  ( (
-u X ^ 2 )  -  ( 4  x.  ( 1  x.  -u M ) ) ) )
158139, 141, 143, 145, 113, 157quad 20136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) ) ) )
159123mulid2d 8853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 1  x.  (
u ^ 2 ) )  =  ( u ^ 2 ) )
160118, 113mulneg1d 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u X  x.  u
)  =  -u ( X  x.  u )
)
161160oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  (
-u ( X  x.  u )  +  -u M ) )
162124, 114negdid 9170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u ( ( X  x.  u )  +  M
)  =  ( -u ( X  x.  u
)  +  -u M
) )
163161, 162eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u X  x.  u )  +  -u M )  =  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )
164159, 163oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) ) )
165123, 125negsubd 9163 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u ^
2 )  +  -u ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M ) ) )
166164, 165eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( 1  x.  ( u ^ 2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  ( ( u ^
2 )  -  (
( X  x.  u
)  +  M ) ) )
167166eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( 1  x.  ( u ^
2 ) )  +  ( ( -u X  x.  u )  +  -u M ) )  =  0  <->  ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0 ) )
168118negnegd 9148 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  -u -u X  =  X
)
169168oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  =  ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
17043mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
171170a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
172169, 171oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
173172eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) )
174168oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( -u -u X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  =  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) ) )
175174, 171oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) )
176175eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  <->  u  =  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) )
177173, 176orbi12d 690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( u  =  ( ( -u -u X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) )  \/  u  =  ( ( -u -u X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  (
2  x.  1 ) ) )  <->  ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) ) ) )
178158, 167, 1773bitr3d 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( ( ( u ^ 2 )  -  ( ( X  x.  u )  +  M
) )  =  0  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
179122, 137, 1783bitr2d 272 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  -> 
( X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  <-> 
( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) ) ) )
180179rexbidva 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) ) )
181 r19.43 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( E. u  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ( u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  \/  u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 ) )  <-> 
( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) ) )
182180, 181syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  ( E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  \/  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 ) ) ) )
183 risset 2590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 ) )
18454, 102addcld 8854 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  e.  CC )
185184halfcld 9956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
186 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
187186baib 871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) )
188185, 187syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
189183, 188syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
190 risset 2590 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )
19154, 102subcld 9157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  e.  CC )
192191halfcld 9956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  e.  CC )
193 eldifsn 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  /\  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
194193baib 871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  CC  ->  ( (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  e.  ( CC  \  {
0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  ( ( X ^
2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  / 
2 )  =/=  0
) )
195192, 194syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  e.  ( CC 
\  { 0 } )  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
196190, 195syl5bbr 250 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  <->  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  =/=  0 ) )
197189, 196orbi12d 690 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  ( (
( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 ) ) )
198 neorian 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =/=  0  \/  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =/=  0 )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) )
199197, 198syl6bb 252 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  +  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
)  \/  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) u  =  ( ( X  -  ( sqr `  (
( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
200182, 199bitrd 244 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  <->  -.  (
( ( X  +  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) ) )  /  2 )  =  0  /\  (
( X  -  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) ) )  /  2 )  =  0 ) ) )
201111, 200sylibrd 225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M
) ) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) ) )
202201imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( X  =  0  /\  ( sqr `  ( ( X ^ 2 )  +  ( 4  x.  M ) ) )  =  0 ) )  ->  E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) )
20396, 202syldan 456 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. u  e.  ( CC  \  {
0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
20421ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
20535ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
20654ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
2073ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
20811ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
20913ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
21015ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
21157ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  M  =  ( P  / 
3 ) )
21217ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  / 
2 ) )
2131ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
214112ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  e.  CC )
215115ad2antrl 708 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  u  =/=  0 )
216 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  X  =  ( u  -  ( M  /  u
) ) )
217 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )
218204, 205, 206, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217dcubic2 20140 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  ( u  e.  ( CC  \  { 0 } )  /\  X  =  ( u  -  ( M  /  u ) ) ) )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
219218expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  0 )  /\  u  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( X  =  ( u  -  ( M  /  u
) )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
220219rexlimdva 2667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  ( E. u  e.  ( CC  \  { 0 } ) X  =  ( u  -  ( M  /  u ) )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
221203, 220mpd 14 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) )
222221ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  ->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
22321ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  P  e.  CC )
22435ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  Q  e.  CC )
22554ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  e.  CC )
226 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  e.  CC )
2273ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  e.  CC )
228226, 227mulcld 8855 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  e.  CC )
229 3nn0 9983 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
230229a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  3  e.  NN0 )
231226, 227, 230mulexpd 11260 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( ( r ^
3 )  x.  ( T ^ 3 ) ) )
232 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =  1 )
233232oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r ^ 3 )  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) ) )
234 expcl 11121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( T ^ 3 )  e.  CC )
2353, 229, 234sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  e.  CC )
236235mulid2d 8853 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( T ^
3 ) )
237236, 11eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  ( T ^ 3 ) )  =  ( G  -  N ) )
238237ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( 1  x.  ( T ^
3 ) )  =  ( G  -  N
) )
239231, 233, 2383eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( (
r  x.  T ) ^ 3 )  =  ( G  -  N
) )
24013ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  G  e.  CC )
24115ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^
2 )  +  ( M ^ 3 ) ) )
24257ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  M  =  ( P  /  3
) )
24317ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  N  =  ( Q  /  2
) )
244140a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  1  =/=  0 )
245232, 244eqnetrd 2464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r ^ 3 )  =/=  0 )
246 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  ( 0 ^ 3 ) )
247246, 28syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  0  ->  (
r ^ 3 )  =  0 )
248247necon3i 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( r ^ 3 )  =/=  0  ->  r  =/=  0 )
249245, 248syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  r  =/=  0 )
2501ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  T  =/=  0 )
251226, 227, 249, 250mulne0d 9420 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( r  x.  T )  =/=  0
)
252 simprr 733 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )
253223, 224, 225, 228, 239, 240, 241, 242, 243, 251, 252dcubic1 20141 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  r  e.  CC )  /\  (
( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 )
254253ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  r  e.  CC )  ->  ( ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  / 
( r  x.  T
) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
255254rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. r  e.  CC  ( ( r ^ 3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T )  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) )  ->  ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0 ) )
256222, 255impbid 183 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <->  E. r  e.  CC  ( ( r ^
3 )  =  1  /\  X  =  ( ( r  x.  T
)  -  ( M  /  ( r  x.  T ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    \ cdif 3149   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718
This theorem is referenced by:  mcubic  20143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532
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