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Theorem dcubic1lem 20155
Description: Lemma for dcubic1 20157 and dcubic2 20156: simplify the cubic equation under the substitution  X  =  U  -  M  /  U. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
dcubic.d  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
dcubic.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
dcubic.t  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
dcubic.3  |-  ( ph  ->  ( T ^ 3 )  =  ( G  -  N ) )
dcubic.g  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
dcubic.2  |-  ( ph  ->  ( G ^ 2 )  =  ( ( N ^ 2 )  +  ( M ^
3 ) ) )
dcubic.m  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
dcubic.n  |-  ( ph  ->  N  =  ( Q  /  2 ) )
dcubic.0  |-  ( ph  ->  T  =/=  0 )
dcubic2.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
dcubic2.z  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
dcubic2.2  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
Assertion
Ref Expression
dcubic1lem  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  =  0 ) )

Proof of Theorem dcubic1lem
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2 3nn0 9999 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  NN0
3 expcl 11137 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( U ^ 3 )  e.  CC )
41, 2, 3sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  e.  CC )
54sqvald 11258 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  =  ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^
3 ) ) )
65oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) ) )
7 dcubic2.z . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
8 3nn 9894 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  NN
98nnzi 10063 . . . . . . . . 9  |-  3  e.  ZZ
109a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  3  e.  ZZ )
111, 7, 10expne0d 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  =/=  0 )
124, 4, 11divcan4d 9558 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( U ^
3 ) )
136, 12eqtr2d 2329 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  /  ( U ^
3 ) ) )
14 dcubic.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
15 dcubic.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( P  /  3 ) )
16 dcubic.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
17 3cn 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  CC
1817a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  CC )
19 3ne0 9847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  =/=  0
2019a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  =/=  0 )
2116, 18, 20divcld 9552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  /  3
)  e.  CC )
2215, 21eqeltrd 2370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
23 expcl 11137 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( M ^ 3 )  e.  CC )
2422, 2, 23sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ^ 3 )  e.  CC )
2524, 4, 11divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) )  e.  CC )
2614, 25negsubd 9179 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( Q  -  ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
2714, 4, 11divcan4d 9558 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  Q )
2827oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) )  -  (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( Q  -  ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
2926, 28eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^
3 ) )  -  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
30 dcubic.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3116, 30mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  X
)  e.  CC )
3231negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  e.  CC )
3325negcld 9160 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) )  e.  CC )
3432, 33, 31, 14add42d 9052 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  +  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
3516, 30mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u X
)  =  -u ( P  x.  X )
)
36 dcubic2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
3736negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u X  =  -u ( U  -  ( M  /  U ) ) )
3822, 1, 7divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  /  U
)  e.  CC )
391, 38negsubdid 9188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( U  -  ( M  /  U
) )  =  (
-u U  +  ( M  /  U ) ) )
4037, 39eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u X  =  (
-u U  +  ( M  /  U ) ) )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u X
)  =  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) ) )
4235, 41eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  =  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) ) )
431negcld 9160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
-u U  e.  CC )
4416, 43, 38adddid 8875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( -u U  +  ( M  /  U ) ) )  =  ( ( P  x.  -u U
)  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4516, 1mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  -u U
)  =  -u ( P  x.  U )
)
4645oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  -u U )  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4742, 44, 463eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  X )  =  (
-u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U ) ) ) )
4847oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
4916, 1mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  x.  U
)  e.  CC )
5049negcld 9160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( P  x.  U )  e.  CC )
5116, 38mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  U ) )  e.  CC )
5250, 51, 33addassd 8873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
5348, 52eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  =  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
5453oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) ) )
5532, 31addcomd 9030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  =  ( ( P  x.  X
)  +  -u ( P  x.  X )
) )
5631negidd 9163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  X )  +  -u ( P  x.  X
) )  =  0 )
5755, 56eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X
) )  =  0 )
5857oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X ) )  +  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( Q  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )
5914, 33addcld 8870 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  e.  CC )
6059addid2d 9029 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6158, 60eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  X )  +  ( P  x.  X ) )  +  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( Q  +  -u (
( M ^ 3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6234, 54, 613eqtr3d 2336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( Q  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6314, 4mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  e.  CC )
6463, 24, 4, 11divsubdird 9591 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  /  ( U ^
3 ) )  -  ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
6529, 62, 643eqtr4d 2338 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) )  =  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) ) )
6613, 65oveq12d 5892 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 )  +  ( ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) ) )  =  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  /  ( U ^ 3 ) )  +  ( ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
671, 38negsubd 9179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( U  +  -u ( M  /  U
) )  =  ( U  -  ( M  /  U ) ) )
6836, 67eqtr4d 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =  ( U  +  -u ( M  /  U ) ) )
6968oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( U  +  -u ( M  /  U ) ) ^ 3 ) )
7038negcld 9160 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
-u ( M  /  U )  e.  CC )
71 binom3 11238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CC  /\  -u ( M  /  U
)  e.  CC )  ->  ( ( U  +  -u ( M  /  U ) ) ^
3 )  =  ( ( ( U ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) ) )
721, 70, 71syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( U  +  -u ( M  /  U
) ) ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U
) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) ) )
731sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U ^ 2 )  e.  CC )
7473, 38mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  -u ( M  /  U ) )  =  -u ( ( U ^ 2 )  x.  ( M  /  U
) ) )
7573, 22, 1, 7div12d 9588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  ( ( U ^
2 )  /  U
) ) )
761sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( U ^ 2 )  =  ( U  x.  U ) )
7776oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  /  U
)  =  ( ( U  x.  U )  /  U ) )
781, 1, 7divcan4d 9558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  U )  /  U
)  =  U )
7977, 78eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  /  U
)  =  U )
8079oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  x.  (
( U ^ 2 )  /  U ) )  =  ( M  x.  U ) )
8175, 80eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  U ) )
8281negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( ( U ^ 2 )  x.  ( M  /  U
) )  =  -u ( M  x.  U
) )
8374, 82eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
2 )  x.  -u ( M  /  U ) )  =  -u ( M  x.  U ) )
8483oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) )  =  ( 3  x.  -u ( M  x.  U ) ) )
8522, 1mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M  x.  U
)  e.  CC )
8618, 85mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  -u ( M  x.  U )
)  =  -u (
3  x.  ( M  x.  U ) ) )
8718, 22, 1mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  U
)  =  ( 3  x.  ( M  x.  U ) ) )
8815oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  M
)  =  ( 3  x.  ( P  / 
3 ) ) )
8916, 18, 20divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( P  /  3 ) )  =  P )
9088, 89eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  M
)  =  P )
9190oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  U
)  =  ( P  x.  U ) )
9287, 91eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( M  x.  U )
)  =  ( P  x.  U ) )
9392negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 3  x.  ( M  x.  U
) )  =  -u ( P  x.  U
) )
9484, 86, 933eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) )  =  -u ( P  x.  U )
)
9594oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U ) ) )
96 sqneg 11180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  /  U )  e.  CC  ->  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 )  =  ( ( M  /  U ) ^
2 ) )
9738, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
2 )  =  ( ( M  /  U
) ^ 2 ) )
9838sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  U ) ^ 2 )  =  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U ) ) )
9997, 98eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
2 )  =  ( ( M  /  U
)  x.  ( M  /  U ) ) )
10099oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) )  =  ( U  x.  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U
) ) ) )
1011, 38, 38mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( M  /  U
) )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( U  x.  ( ( M  /  U )  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10222, 1, 7divcan2d 9554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( M  /  U ) )  =  M )
103102oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( U  x.  ( M  /  U
) )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( M  x.  ( M  /  U
) ) )
104100, 101, 1033eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) )  =  ( M  x.  ( M  /  U ) ) )
105104oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( M  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10618, 22, 38mulassd 8874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( 3  x.  ( M  x.  ( M  /  U ) ) ) )
10790oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  M )  x.  ( M  /  U ) )  =  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )
108105, 106, 1073eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  =  ( P  x.  ( M  /  U
) ) )
1098a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  3  e.  NN )
110 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN
111 1nn0 9997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN0
112 1nn 9773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  NN
113 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  CC
114113mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
115114oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  ( 2  +  1 )
116 2p1e3 9863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  +  1 )  =  3
117115, 116eqtri 2316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  1 )  =  3
118 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  <  2
119110, 111, 112, 117, 118ndvdsi 12625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -.  2  ||  3
120119a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  3
)
121 oexpneg 12606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  /  U
)  e.  CC  /\  3  e.  NN  /\  -.  2  ||  3 )  -> 
( -u ( M  /  U ) ^ 3 )  =  -u (
( M  /  U
) ^ 3 ) )
12238, 109, 120, 121syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M  /  U ) ^ 3 ) )
1232a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  3  e.  NN0 )
12422, 1, 7, 123expdivd 11275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  U ) ^ 3 )  =  ( ( M ^ 3 )  /  ( U ^
3 ) ) )
125124negeqd 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )
126122, 125eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( M  /  U ) ^
3 )  =  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )
127108, 126oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U
) ^ 2 ) ) )  +  (
-u ( M  /  U ) ^ 3 ) )  =  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )
12895, 127oveq12d 5892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( U ^ 2 )  x.  -u ( M  /  U ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( U  x.  ( -u ( M  /  U ) ^
2 ) ) )  +  ( -u ( M  /  U ) ^
3 ) ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U ) )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )
12969, 72, 1283eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  -u ( P  x.  U )
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )
13051, 33addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) )  e.  CC )
1314, 50, 130addassd 8873 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  + 
-u ( P  x.  U ) )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) ) )
132129, 131eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X ^ 3 )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  + 
-u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) ) )
133132oveq1d 5889 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) )
13450, 130addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )  e.  CC )
13531, 14addcld 8870 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  X )  +  Q
)  e.  CC )
1364, 134, 135addassd 8873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 )  +  ( -u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U
) )  +  -u ( ( M ^
3 )  /  ( U ^ 3 ) ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( (
-u ( P  x.  U )  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) ) )
137133, 136eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( U ^ 3 )  +  ( ( -u ( P  x.  U
)  +  ( ( P  x.  ( M  /  U ) )  +  -u ( ( M ^ 3 )  / 
( U ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q ) ) ) )
1384sqcld 11259 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  e.  CC )
13963, 24subcld 9173 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  e.  CC )
140138, 139, 4, 11divdird 9590 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  /  ( U ^
3 ) )  +  ( ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) )  /  ( U ^ 3 ) ) ) )
14166, 137, 1403eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
3 )  +  ( ( P  x.  X
)  +  Q ) )  =  ( ( ( ( U ^
3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  /  ( U ^
3 ) ) )
142141eqeq1d 2304 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0 ) )
143138, 139addcld 8870 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  e.  CC )
144 diveq0 9450 . . 3  |-  ( ( ( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  e.  CC  /\  ( U ^ 3 )  e.  CC  /\  ( U ^ 3 )  =/=  0 )  ->  (
( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0  <->  ( (
( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  =  0 ) )
145143, 4, 11, 144syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  /  ( U ^ 3 ) )  =  0  <->  ( (
( U ^ 3 ) ^ 2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^
3 ) )  -  ( M ^ 3 ) ) )  =  0 ) )
146142, 145bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 3 )  +  ( ( P  x.  X )  +  Q
) )  =  0  <-> 
( ( ( U ^ 3 ) ^
2 )  +  ( ( Q  x.  ( U ^ 3 ) )  -  ( M ^
3 ) ) )  =  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  dcubic2  20156  dcubic1  20157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
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