Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dcubic2 Structured version   Unicode version

Theorem dcubic2 20676
 Description: Reverse direction of dcubic 20678. Given a solution to the "substitution" quadratic equation , show that is in the desired form. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dcubic.c
dcubic.d
dcubic.x
dcubic.t
dcubic.3
dcubic.g
dcubic.2
dcubic.m
dcubic.n
dcubic.0
dcubic2.u
dcubic2.z
dcubic2.2
dcubic2.x
Assertion
Ref Expression
dcubic2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem dcubic2
StepHypRef Expression
1 dcubic2.u . . . . 5
2 dcubic.t . . . . 5
3 dcubic.0 . . . . 5
41, 2, 3divcld 9782 . . . 4
6 3nn0 10231 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
81, 2, 3, 7expdivd 11529 . . . . 5
98adantr 452 . . . 4
10 oveq1 6080 . . . . 5
11 dcubic.3 . . . . . . 7
1211oveq1d 6088 . . . . . 6
13 expcl 11391 . . . . . . . 8
142, 6, 13sylancl 644 . . . . . . 7
156nn0zi 10298 . . . . . . . . 9
1615a1i 11 . . . . . . . 8
172, 3, 16expne0d 11521 . . . . . . 7
1814, 17dividd 9780 . . . . . 6
1912, 18eqtr3d 2469 . . . . 5
2010, 19sylan9eqr 2489 . . . 4
219, 20eqtrd 2467 . . 3
22 dcubic2.2 . . . . 5
231, 2, 3divcan1d 9783 . . . . . 6
2423oveq2d 6089 . . . . . 6
2523, 24oveq12d 6091 . . . . 5
2622, 25eqtr4d 2470 . . . 4
28 oveq1 6080 . . . . . 6
2928eqeq1d 2443 . . . . 5
30 oveq1 6080 . . . . . . 7
3130oveq2d 6089 . . . . . . 7
3230, 31oveq12d 6091 . . . . . 6
3332eqeq2d 2446 . . . . 5
3429, 33anbi12d 692 . . . 4
3534rspcev 3044 . . 3
365, 21, 27, 35syl12anc 1182 . 2
37 dcubic.m . . . . . . . 8
38 dcubic.c . . . . . . . . 9
39 3cn 10064 . . . . . . . . . 10
4039a1i 11 . . . . . . . . 9
41 3ne0 10077 . . . . . . . . . 10
4241a1i 11 . . . . . . . . 9
4338, 40, 42divcld 9782 . . . . . . . 8
4437, 43eqeltrd 2509 . . . . . . 7
45 dcubic2.z . . . . . . 7
4644, 1, 45divcld 9782 . . . . . 6
4746negcld 9390 . . . . 5
4847, 2, 3divcld 9782 . . . 4
5047, 2, 3, 7expdivd 11529 . . . . . 6
5144, 1, 45divnegd 9795 . . . . . . . . 9
5251oveq1d 6088 . . . . . . . 8
5344negcld 9390 . . . . . . . . 9
5453, 1, 45, 7expdivd 11529 . . . . . . . 8
5511oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . 14
56 dcubic.g . . . . . . . . . . . . . . 15
57 dcubic.n . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 dcubic.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5958halfcld 10204 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6057, 59eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 subsq 11480 . . . . . . . . . . . . . . 15
6256, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14
6355, 62eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . . . 13
64 dcubic.2 . . . . . . . . . . . . . 14
6564oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . . 13
6660sqcld 11513 . . . . . . . . . . . . . 14
67 expcl 11391 . . . . . . . . . . . . . . 15
6844, 6, 67sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . 14
6966, 68pncan2d 9405 . . . . . . . . . . . . 13
7063, 65, 693eqtrd 2471 . . . . . . . . . . . 12
7170negeqd 9292 . . . . . . . . . . 11
7256, 60addcld 9099 . . . . . . . . . . . 12
7372, 14mulneg1d 9478 . . . . . . . . . . 11
74 3nn 10126 . . . . . . . . . . . . 13
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
76 2nn 10125 . . . . . . . . . . . . . 14
77 1nn0 10229 . . . . . . . . . . . . . 14
78 1nn 10003 . . . . . . . . . . . . . 14
79 2cn 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8079mulid1i 9084 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8180oveq1i 6083 . . . . . . . . . . . . . . 15
82 2p1e3 10095 . . . . . . . . . . . . . . 15
8381, 82eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . 14
84 1lt2 10134 . . . . . . . . . . . . . 14
8576, 77, 78, 83, 84ndvdsi 12922 . . . . . . . . . . . . 13
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
87 oexpneg 12903 . . . . . . . . . . . 12
8844, 75, 86, 87syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11
8971, 73, 883eqtr4d 2477 . . . . . . . . . 10
9089oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
9172negcld 9390 . . . . . . . . . 10
92 expcl 11391 . . . . . . . . . . 11
931, 6, 92sylancl 644 . . . . . . . . . 10
941, 45, 16expne0d 11521 . . . . . . . . . 10
9591, 14, 93, 94div23d 9819 . . . . . . . . 9
9690, 95eqtr3d 2469 . . . . . . . 8
9752, 54, 963eqtrd 2471 . . . . . . 7
9897oveq1d 6088 . . . . . 6
9991, 93, 94divcld 9782 . . . . . . 7
10099, 14, 17divcan4d 9788 . . . . . 6
10150, 98, 1003eqtrd 2471 . . . . 5
102101adantr 452 . . . 4
103 oveq1 6080 . . . . . 6
104103eqcomd 2440 . . . . 5
10593, 94dividd 9780 . . . . 5
106104, 105sylan9eqr 2489 . . . 4
107102, 106eqtrd 2467 . . 3
10846, 1neg2subd 9420 . . . . . 6
10922, 108eqtr4d 2470 . . . . 5
110109adantr 452 . . . 4
11147, 2, 3divcan1d 9783 . . . . . 6
112111adantr 452 . . . . 5
11344, 1, 45divneg2d 9796 . . . . . . . . 9
114111, 113eqtrd 2467 . . . . . . . 8
115114adantr 452 . . . . . . 7
116115oveq2d 6089 . . . . . 6
11744adantr 452 . . . . . . 7
1181negcld 9390 . . . . . . . 8
119118adantr 452 . . . . . . 7
12073, 71eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10
121120adantr 452 . . . . . . . . 9
12291adantr 452 . . . . . . . . . 10
12314adantr 452 . . . . . . . . . 10
124 simpr 448 . . . . . . . . . . 11
12594adantr 452 . . . . . . . . . . 11
126124, 125eqnetrrd 2618 . . . . . . . . . 10
12717adantr 452 . . . . . . . . . 10
128122, 123, 126, 127mulne0d 9666 . . . . . . . . 9
129121, 128eqnetrrd 2618 . . . . . . . 8
130 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . 12
131 0exp 11407 . . . . . . . . . . . . 13
13274, 131ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12
133130, 132syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11
134133negeqd 9292 . . . . . . . . . 10
135 neg0 9339 . . . . . . . . . 10
136134, 135syl6eq 2483 . . . . . . . . 9
137136necon3i 2637 . . . . . . . 8
138129, 137syl 16 . . . . . . 7
1391, 45negne0d 9401 . . . . . . . 8
140139adantr 452 . . . . . . 7
141117, 119, 138, 140ddcand 9802 . . . . . 6
142116, 141eqtrd 2467 . . . . 5
143112, 142oveq12d 6091 . . . 4
144110, 143eqtr4d 2470 . . 3
145 oveq1 6080 . . . . . 6
146145eqeq1d 2443 . . . . 5
147 oveq1 6080 . . . . . . 7
148147oveq2d 6089 . . . . . . 7
149147, 148oveq12d 6091 . . . . . 6
150149eqeq2d 2446 . . . . 5
151146, 150anbi12d 692 . . . 4
152151rspcev 3044 . . 3
15349, 107, 144, 152syl12anc 1182 . 2
15493sqcld 11513 . . . . . . 7
155154mulid2d 9098 . . . . . 6
15658, 93mulcld 9100 . . . . . . 7
157156, 68negsubd 9409 . . . . . 6
158155, 157oveq12d 6091 . . . . 5
159 dcubic2.x . . . . . 6
160 dcubic.x . . . . . . 7
16138, 58, 160, 2, 11, 56, 64, 37, 57, 3, 1, 45, 22dcubic1lem 20675 . . . . . 6
162159, 161mpbid 202 . . . . 5
163158, 162eqtrd 2467 . . . 4
164 ax-1cn 9040 . . . . . 6
165164a1i 11 . . . . 5
166 ax-1ne0 9051 . . . . . 6
167166a1i 11 . . . . 5
16868negcld 9390 . . . . 5
169 mulcl 9066 . . . . . 6
17079, 56, 169sylancr 645 . . . . 5
171 sqmul 11437 . . . . . . 7
17279, 56, 171sylancr 645 . . . . . 6
17364oveq2d 6089 . . . . . 6
17479sqcli 11454 . . . . . . . . 9
175 mulcl 9066 . . . . . . . . 9
176174, 66, 175sylancr 645 . . . . . . . 8
177 mulcl 9066 . . . . . . . . 9
178174, 68, 177sylancr 645 . . . . . . . 8
179176, 178subnegd 9410 . . . . . . 7
18057oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11
18179a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
182 2ne0 10075 . . . . . . . . . . . . 13
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
18458, 181, 183divcan2d 9784 . . . . . . . . . . 11
185180, 184eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10
186185oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
187 sqmul 11437 . . . . . . . . . 10
18879, 60, 187sylancr 645 . . . . . . . . 9
189186, 188eqtr3d 2469 . . . . . . . 8
190168mulid2d 9098 . . . . . . . . . . 11
191190oveq2d 6089 . . . . . . . . . 10
192 4cn 10066 . . . . . . . . . . 11
193 mulneg2 9463 . . . . . . . . . . 11
194192, 68, 193sylancr 645 . . . . . . . . . 10
195191, 194eqtrd 2467 . . . . . . . . 9
196 sq2 11469 . . . . . . . . . . 11
197196oveq1i 6083 . . . . . . . . . 10
198197negeqi 9291 . . . . . . . . 9
199195, 198syl6eqr 2485 . . . . . . . 8
200189, 199oveq12d 6091 . . . . . . 7
201174a1i 11 . . . . . . . 8
202201, 66, 68adddid 9104 . . . . . . 7
203179, 200, 2023eqtr4rd 2478 . . . . . 6
204172, 173, 2033eqtrd 2471 . . . . 5
205165, 167, 58, 168, 93, 170, 204quad2 20671 . . . 4
206163, 205mpbid 202 . . 3
20780oveq2i 6084 . . . . . 6
20858negcld 9390 . . . . . . . 8
209208, 170, 181, 183divdird 9820 . . . . . . 7
21057negeqd 9292 . . . . . . . . 9
21158, 181, 183divnegd 9795 . . . . . . . . 9
212210, 211eqtr2d 2468 . . . . . . . 8
21356, 181, 183divcan3d 9787 . . . . . . . 8
214212, 213oveq12d 6091 . . . . . . 7
21560negcld 9390 . . . . . . . . 9
216215, 56addcomd 9260 . . . . . . . 8
21756, 60negsubd 9409 . . . . . . . 8
218216, 217eqtrd 2467 . . . . . . 7
219209, 214, 2183eqtrd 2471 . . . . . 6
220207, 219syl5eq 2479 . . . . 5
221220eqeq2d 2446 . . . 4
22280oveq2i 6084 . . . . . 6
223212, 213oveq12d 6091 . . . . . . 7
224208, 170, 181, 183divsubdird 9821 . . . . . . 7
22556, 60addcomd 9260 . . . . . . . . 9
226225negeqd 9292 . . . . . . . 8
22760, 56negdi2d 9417 . . . . . . . 8
228226, 227eqtrd 2467 . . . . . . 7
229223, 224, 2283eqtr4d 2477 . . . . . 6
230222, 229syl5eq 2479 . . . . 5
231230eqeq2d 2446 . . . 4
232221, 231orbi12d 691 . . 3
233206, 232mpbid 202 . 2
23436, 153, 233mpjaodan 762 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 358   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598  wrex 2698   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073  cc 8980  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283  cneg 9284   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  c3 10042  c4 10043  cn0 10213  cz 10274  cexp 11374   cdivides 12844 This theorem is referenced by:  dcubic  20678 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845
 Copyright terms: Public domain W3C validator