Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Unicode version

Theorem dec2dvds 13094
 Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1
dec2dvds.2
dec2dvds.3
dec2dvds.4
Assertion
Ref Expression
dec2dvds ;

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 10001 . . . . . . . . 9
21nn0zi 10064 . . . . . . . 8
3 2z 10070 . . . . . . . 8
4 dvdsmul2 12567 . . . . . . . 8
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . . 7
6 5t2e10 9891 . . . . . . 7
75, 6breqtri 4062 . . . . . 6
8 10nn0 10006 . . . . . . . 8
98nn0zi 10064 . . . . . . 7
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8
1110nn0zi 10064 . . . . . . 7
12 dvdsmultr1 12579 . . . . . . 7
133, 9, 11, 12mp3an 1277 . . . . . 6
147, 13ax-mp 8 . . . . 5
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8
1615nn0zi 10064 . . . . . . 7
17 dvdsmul2 12567 . . . . . . 7
1816, 3, 17mp2an 653 . . . . . 6
19 dec2dvds.3 . . . . . 6
2018, 19breqtri 4062 . . . . 5
218, 10nn0mulcli 10018 . . . . . . 7
2221nn0zi 10064 . . . . . 6
23 2nn0 9998 . . . . . . . . 9
2415, 23nn0mulcli 10018 . . . . . . . 8
2519, 24eqeltrri 2367 . . . . . . 7
2625nn0zi 10064 . . . . . 6
27 dvds2add 12576 . . . . . 6
283, 22, 26, 27mp3an 1277 . . . . 5
2914, 20, 28mp2an 653 . . . 4
30 df-dec 10141 . . . 4 ;
3129, 30breqtrri 4064 . . 3 ;
3210, 25deccl 10154 . . . . 5 ;
3332nn0zi 10064 . . . 4 ;
34 2nn 9893 . . . 4
35 1lt2 9902 . . . 4
36 ndvdsp1 12624 . . . 4 ; ; ;
3733, 34, 35, 36mp3an 1277 . . 3 ; ;
3831, 37ax-mp 8 . 2 ;
39 dec2dvds.4 . . . . 5
4039eqcomi 2300 . . . 4
41 eqid 2296 . . . 4 ; ;
4210, 25, 40, 41decsuc 10163 . . 3 ; ;
4342breq2i 4047 . 2 ; ;
4438, 43mtbi 289 1 ;
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   clt 8883  cn 9762  c2 9811  c5 9814  c10 9819  cn0 9981  cz 10040  ;cdc 10140   cdivides 12547 This theorem is referenced by:  11prm  13132  13prm  13133  17prm  13134  19prm  13135  23prm  13136  37prm  13138  43prm  13139  83prm  13140  139prm  13141  163prm  13142  317prm  13143  631prm  13144 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
 Copyright terms: Public domain W3C validator