MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec2dvds Unicode version

Theorem dec2dvds 13094
Description: Divisibility by two is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec2dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec2dvds.2  |-  B  e. 
NN0
dec2dvds.3  |-  ( B  x.  2 )  =  C
dec2dvds.4  |-  D  =  ( C  +  1 )
Assertion
Ref Expression
dec2dvds  |-  -.  2  || ; A D

Proof of Theorem dec2dvds
StepHypRef Expression
1 5nn0 10001 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  NN0
21nn0zi 10064 . . . . . . . 8  |-  5  e.  ZZ
3 2z 10070 . . . . . . . 8  |-  2  e.  ZZ
4 dvdsmul2 12567 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( 5  x.  2 ) )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . . 7  |-  2  ||  ( 5  x.  2 )
6 5t2e10 9891 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
75, 6breqtri 4062 . . . . . 6  |-  2  ||  10
8 10nn0 10006 . . . . . . . 8  |-  10  e.  NN0
98nn0zi 10064 . . . . . . 7  |-  10  e.  ZZ
10 dec2dvds.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
NN0
1110nn0zi 10064 . . . . . . 7  |-  A  e.  ZZ
12 dvdsmultr1 12579 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  10  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  (
2  ||  10  ->  2 
||  ( 10  x.  A ) ) )
133, 9, 11, 12mp3an 1277 . . . . . 6  |-  ( 2 
||  10  ->  2  ||  ( 10  x.  A
) )
147, 13ax-mp 8 . . . . 5  |-  2  ||  ( 10  x.  A
)
15 dec2dvds.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
NN0
1615nn0zi 10064 . . . . . . 7  |-  B  e.  ZZ
17 dvdsmul2 12567 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( B  x.  2 ) )
1816, 3, 17mp2an 653 . . . . . 6  |-  2  ||  ( B  x.  2 )
19 dec2dvds.3 . . . . . 6  |-  ( B  x.  2 )  =  C
2018, 19breqtri 4062 . . . . 5  |-  2  ||  C
218, 10nn0mulcli 10018 . . . . . . 7  |-  ( 10  x.  A )  e. 
NN0
2221nn0zi 10064 . . . . . 6  |-  ( 10  x.  A )  e.  ZZ
23 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
2415, 23nn0mulcli 10018 . . . . . . . 8  |-  ( B  x.  2 )  e. 
NN0
2519, 24eqeltrri 2367 . . . . . . 7  |-  C  e. 
NN0
2625nn0zi 10064 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
27 dvds2add 12576 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( 10  x.  A
)  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A
)  /\  2  ||  C )  ->  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
) ) )
283, 22, 26, 27mp3an 1277 . . . . 5  |-  ( ( 2  ||  ( 10  x.  A )  /\  2  ||  C )  -> 
2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C ) )
2914, 20, 28mp2an 653 . . . 4  |-  2  ||  ( ( 10  x.  A )  +  C
)
30 df-dec 10141 . . . 4  |- ; A C  =  ( ( 10  x.  A
)  +  C )
3129, 30breqtrri 4064 . . 3  |-  2  || ; A C
3210, 25deccl 10154 . . . . 5  |- ; A C  e.  NN0
3332nn0zi 10064 . . . 4  |- ; A C  e.  ZZ
34 2nn 9893 . . . 4  |-  2  e.  NN
35 1lt2 9902 . . . 4  |-  1  <  2
36 ndvdsp1 12624 . . . 4  |-  ( (; A C  e.  ZZ  /\  2  e.  NN  /\  1  <  2 )  ->  (
2  || ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1 ) ) )
3733, 34, 35, 36mp3an 1277 . . 3  |-  ( 2 
|| ; A C  ->  -.  2  ||  (; A C  +  1
) )
3831, 37ax-mp 8 . 2  |-  -.  2  ||  (; A C  +  1
)
39 dec2dvds.4 . . . . 5  |-  D  =  ( C  +  1 )
4039eqcomi 2300 . . . 4  |-  ( C  +  1 )  =  D
41 eqid 2296 . . . 4  |- ; A C  = ; A C
4210, 25, 40, 41decsuc 10163 . . 3  |-  (; A C  +  1 )  = ; A D
4342breq2i 4047 . 2  |-  ( 2 
||  (; A C  +  1 )  <->  2  || ; A D )
4438, 43mtbi 289 1  |-  -.  2  || ; A D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883   NNcn 9762   2c2 9811   5c5 9814   10c10 9819   NN0cn0 9981   ZZcz 10040  ;cdc 10140    || cdivides 12547
This theorem is referenced by:  11prm  13132  13prm  13133  17prm  13134  19prm  13135  23prm  13136  37prm  13138  43prm  13139  83prm  13140  139prm  13141  163prm  13142  317prm  13143  631prm  13144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548
  Copyright terms: Public domain W3C validator