MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds Unicode version

Theorem dec5dvds 13363
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec5dvds.2  |-  B  e.  NN
dec5dvds.3  |-  B  <  5
Assertion
Ref Expression
dec5dvds  |-  -.  5  || ; A B

Proof of Theorem dec5dvds
StepHypRef Expression
1 5nn 10100 . 2  |-  5  e.  NN
2 2nn0 10202 . . 3  |-  2  e.  NN0
3 dec5dvds.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
42, 3nn0mulcli 10222 . 2  |-  ( 2  x.  A )  e. 
NN0
5 dec5dvds.2 . 2  |-  B  e.  NN
61nncni 9974 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
7 2cn 10034 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
83nn0cni 10197 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
96, 7, 8mulassi 9063 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 5  x.  (
2  x.  A ) )
10 5t2e10 10095 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1110oveq1i 6058 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
129, 11eqtr3i 2434 . . . 4  |-  ( 5  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 10  x.  A
)
1312oveq1i 6058 . . 3  |-  ( ( 5  x.  ( 2  x.  A ) )  +  B )  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
14 df-dec 10347 . . 3  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
1513, 14eqtr4i 2435 . 2  |-  ( ( 5  x.  ( 2  x.  A ) )  +  B )  = ; A B
16 dec5dvds.3 . 2  |-  B  <  5
171, 4, 5, 15, 16ndvdsi 12893 1  |-  -.  5  || ; A B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1721   class class class wbr 4180  (class class class)co 6048    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084   NNcn 9964   2c2 10013   5c5 10016   10c10 10021   NN0cn0 10185  ;cdc 10346    || cdivides 12815
This theorem is referenced by:  dec5dvds2  13364  43prm  13407  83prm  13408  163prm  13410  631prm  13412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-rp 10577  df-fz 11008  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816
  Copyright terms: Public domain W3C validator