MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds Structured version   Unicode version

Theorem dec5dvds 13405
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec5dvds.2  |-  B  e.  NN
dec5dvds.3  |-  B  <  5
Assertion
Ref Expression
dec5dvds  |-  -.  5  || ; A B

Proof of Theorem dec5dvds
StepHypRef Expression
1 5nn 10141 . 2  |-  5  e.  NN
2 2nn0 10243 . . 3  |-  2  e.  NN0
3 dec5dvds.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
42, 3nn0mulcli 10263 . 2  |-  ( 2  x.  A )  e. 
NN0
5 dec5dvds.2 . 2  |-  B  e.  NN
61nncni 10015 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
7 2cn 10075 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
83nn0cni 10238 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
96, 7, 8mulassi 9104 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 5  x.  (
2  x.  A ) )
10 5t2e10 10136 . . . . . 6  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1110oveq1i 6094 . . . . 5  |-  ( ( 5  x.  2 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
129, 11eqtr3i 2460 . . . 4  |-  ( 5  x.  ( 2  x.  A ) )  =  ( 10  x.  A
)
1312oveq1i 6094 . . 3  |-  ( ( 5  x.  ( 2  x.  A ) )  +  B )  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
14 df-dec 10388 . . 3  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
1513, 14eqtr4i 2461 . 2  |-  ( ( 5  x.  ( 2  x.  A ) )  +  B )  = ; A B
16 dec5dvds.3 . 2  |-  B  <  5
171, 4, 5, 15, 16ndvdsi 12935 1  |-  -.  5  || ; A B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1726   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084    + caddc 8998    x. cmul 9000    < clt 9125   NNcn 10005   2c2 10054   5c5 10057   10c10 10062   NN0cn0 10226  ;cdc 10387    || cdivides 12857
This theorem is referenced by:  dec5dvds2  13406  43prm  13449  83prm  13450  163prm  13452  631prm  13454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fz 11049  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858
  Copyright terms: Public domain W3C validator