MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds2 Unicode version

Theorem dec5dvds2 13080
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec5dvds.2  |-  B  e.  NN
dec5dvds.3  |-  B  <  5
dec5dvds2.4  |-  ( 5  +  B )  =  C
Assertion
Ref Expression
dec5dvds2  |-  -.  5  || ; A C

Proof of Theorem dec5dvds2
StepHypRef Expression
1 dec5dvds.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
2 dec5dvds.2 . . 3  |-  B  e.  NN
3 dec5dvds.3 . . 3  |-  B  <  5
41, 2, 3dec5dvds 13079 . 2  |-  -.  5  || ; A B
5 5nn0 9985 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
65nn0zi 10048 . . . 4  |-  5  e.  ZZ
72nnnn0i 9973 . . . . . 6  |-  B  e. 
NN0
81, 7deccl 10138 . . . . 5  |- ; A B  e.  NN0
98nn0zi 10048 . . . 4  |- ; A B  e.  ZZ
10 dvdsadd 12567 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\ ; A B  e.  ZZ )  -> 
( 5  || ; A B  <->  5  ||  ( 5  + ; A B ) ) )
116, 9, 10mp2an 653 . . 3  |-  ( 5 
|| ; A B  <->  5  ||  (
5  + ; A B ) )
12 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
135dec0h 10140 . . . . 5  |-  5  = ; 0 5
14 eqid 2283 . . . . 5  |- ; A B  = ; A B
151nn0cni 9977 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1615addid2i 9000 . . . . 5  |-  ( 0  +  A )  =  A
17 dec5dvds2.4 . . . . 5  |-  ( 5  +  B )  =  C
1812, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17decadd 10165 . . . 4  |-  ( 5  + ; A B )  = ; A C
1918breq2i 4031 . . 3  |-  ( 5 
||  ( 5  + ; A B )  <->  5  || ; A C )
2011, 19bitri 240 . 2  |-  ( 5 
|| ; A B  <->  5  || ; A C )
214, 20mtbi 289 1  |-  -.  5  || ; A C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023  (class class class)co 5858   0cc0 8737    + caddc 8740    < clt 8867   NNcn 9746   5c5 9798   NN0cn0 9965   ZZcz 10024  ;cdc 10124    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  37prm  13122  139prm  13125  317prm  13127
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532
  Copyright terms: Public domain W3C validator