MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5dvds2 Unicode version

Theorem dec5dvds2 13321
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dec5dvds.1  |-  A  e. 
NN0
dec5dvds.2  |-  B  e.  NN
dec5dvds.3  |-  B  <  5
dec5dvds2.4  |-  ( 5  +  B )  =  C
Assertion
Ref Expression
dec5dvds2  |-  -.  5  || ; A C

Proof of Theorem dec5dvds2
StepHypRef Expression
1 dec5dvds.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
2 dec5dvds.2 . . 3  |-  B  e.  NN
3 dec5dvds.3 . . 3  |-  B  <  5
41, 2, 3dec5dvds 13320 . 2  |-  -.  5  || ; A B
5 5nn0 10166 . . . . 5  |-  5  e.  NN0
65nn0zi 10231 . . . 4  |-  5  e.  ZZ
72nnnn0i 10154 . . . . . 6  |-  B  e. 
NN0
81, 7deccl 10321 . . . . 5  |- ; A B  e.  NN0
98nn0zi 10231 . . . 4  |- ; A B  e.  ZZ
10 dvdsadd 12808 . . . 4  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\ ; A B  e.  ZZ )  -> 
( 5  || ; A B  <->  5  ||  ( 5  + ; A B ) ) )
116, 9, 10mp2an 654 . . 3  |-  ( 5 
|| ; A B  <->  5  ||  (
5  + ; A B ) )
12 0nn0 10161 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
135dec0h 10323 . . . . 5  |-  5  = ; 0 5
14 eqid 2380 . . . . 5  |- ; A B  = ; A B
151nn0cni 10158 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
1615addid2i 9179 . . . . 5  |-  ( 0  +  A )  =  A
17 dec5dvds2.4 . . . . 5  |-  ( 5  +  B )  =  C
1812, 5, 1, 7, 13, 14, 16, 17decadd 10348 . . . 4  |-  ( 5  + ; A B )  = ; A C
1918breq2i 4154 . . 3  |-  ( 5 
||  ( 5  + ; A B )  <->  5  || ; A C )
2011, 19bitri 241 . 2  |-  ( 5 
|| ; A B  <->  5  || ; A C )
214, 20mtbi 290 1  |-  -.  5  || ; A C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013   0cc0 8916    + caddc 8919    < clt 9046   NNcn 9925   5c5 9977   NN0cn0 10146   ZZcz 10207  ;cdc 10307    || cdivides 12772
This theorem is referenced by:  37prm  13363  139prm  13366  317prm  13368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-rp 10538  df-fz 10969  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-dvds 12773
  Copyright terms: Public domain W3C validator