MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dec5nprm Unicode version

Theorem dec5nprm 13081
Description: Divisibility by five is obvious in base 10. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dec2nprm.1  |-  A  e.  NN
Assertion
Ref Expression
dec5nprm  |-  -. ; A 5  e.  Prime

Proof of Theorem dec5nprm
StepHypRef Expression
1 2nn 9877 . . . 4  |-  2  e.  NN
2 dec2nprm.1 . . . 4  |-  A  e.  NN
31, 2nnmulcli 9770 . . 3  |-  ( 2  x.  A )  e.  NN
4 peano2nn 9758 . . 3  |-  ( ( 2  x.  A )  e.  NN  ->  (
( 2  x.  A
)  +  1 )  e.  NN )
53, 4ax-mp 8 . 2  |-  ( ( 2  x.  A )  +  1 )  e.  NN
6 5nn 9880 . 2  |-  5  e.  NN
7 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
8 1lt2 9886 . . 3  |-  1  <  2
91, 2, 7, 7, 8numlti 10148 . 2  |-  1  <  ( ( 2  x.  A )  +  1 )
10 1lt5 9895 . 2  |-  1  <  5
111nncni 9756 . . . . . 6  |-  2  e.  CC
122nncni 9756 . . . . . 6  |-  A  e.  CC
136nncni 9756 . . . . . 6  |-  5  e.  CC
1411, 12, 13mul32i 9008 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  5 )  =  ( ( 2  x.  5 )  x.  A
)
15 5t2e10 9875 . . . . . . 7  |-  ( 5  x.  2 )  =  10
1613, 11, 15mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  5 )  =  10
1716oveq1i 5868 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  5 )  x.  A )  =  ( 10  x.  A
)
1814, 17eqtri 2303 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  A )  x.  5 )  =  ( 10  x.  A
)
1913mulid2i 8840 . . . 4  |-  ( 1  x.  5 )  =  5
2018, 19oveq12i 5870 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )  =  ( ( 10  x.  A )  +  5 )
213nncni 9756 . . . 4  |-  ( 2  x.  A )  e.  CC
22 ax-1cn 8795 . . . 4  |-  1  e.  CC
2321, 22, 13adddiri 8848 . . 3  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  +  1 )  x.  5 )  =  ( ( ( 2  x.  A )  x.  5 )  +  ( 1  x.  5 ) )
24 df-dec 10125 . . 3  |- ; A 5  =  ( ( 10  x.  A
)  +  5 )
2520, 23, 243eqtr4i 2313 . 2  |-  ( ( ( 2  x.  A
)  +  1 )  x.  5 )  = ; A
5
265, 6, 9, 10, 25nprmi 12773 1  |-  -. ; A 5  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   2c2 9795   5c5 9798   10c10 9803  ;cdc 10124   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-dvds 12532  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator