MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decaddc Unicode version

Theorem decaddc 10388
Description: Add two numerals  M and  N (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decaddc.8  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
decaddc.7  |-  F  e. 
NN0
decaddc.9  |-  ( B  +  D )  = ; 1 F
Assertion
Ref Expression
decaddc  |-  ( M  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decaddc
StepHypRef Expression
1 10nn0 10210 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10347 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2432 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10347 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2432 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decaddc.7 . . 3  |-  F  e. 
NN0
13 decaddc.8 . . 3  |-  ( ( A  +  C )  +  1 )  =  E
14 decaddc.9 . . . 4  |-  ( B  +  D )  = ; 1 F
15 df-dec 10347 . . . 4  |- ; 1 F  =  ( ( 10  x.  1 )  +  F )
1614, 15eqtri 2432 . . 3  |-  ( B  +  D )  =  ( ( 10  x.  1 )  +  F
)
171, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 16numaddc 10381 . 2  |-  ( M  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
18 df-dec 10347 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
1917, 18eqtr4i 2435 1  |-  ( M  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6048   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959   10c10 10021   NN0cn0 10185  ;cdc 10346
This theorem is referenced by:  decaddc2  10389  decaddci  10391  2exp16  13387  prmlem2  13405  37prm  13406  1259lem1  13413  1259lem4  13416  2503lem2  13420  4001lem1  13423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089  df-sub 9257  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-dec 10347
  Copyright terms: Public domain W3C validator