MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decexp2 Unicode version

Theorem decexp2 13090
Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decexp2.1  |-  M  e. 
NN0
decexp2.2  |-  ( M  +  2 )  =  N
Assertion
Ref Expression
decexp2  |-  ( ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( 2 ^ N
)

Proof of Theorem decexp2
StepHypRef Expression
1 2cn 9816 . . . . 5  |-  2  e.  CC
2 2nn0 9982 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
3 decexp2.1 . . . . . . 7  |-  M  e. 
NN0
42, 3nn0expcli 11129 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ M )  e. 
NN0
54nn0cni 9977 . . . . 5  |-  ( 2 ^ M )  e.  CC
61, 5mulcli 8842 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) )  e.  CC
7 expp1 11110 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
81, 3, 7mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 )
95, 1mulcomi 8843 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ^ M )  x.  2 )  =  ( 2  x.  (
2 ^ M ) )
108, 9eqtr2i 2304 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) )  =  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )
1110oveq1i 5868 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  ( 2 ^ M ) )  x.  2 )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 )
126, 1, 11mulcomli 8844 . . 3  |-  ( 2  x.  ( 2  x.  ( 2 ^ M
) ) )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 )
134decbin0 10227 . . 3  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  =  ( 2  x.  (
2  x.  ( 2 ^ M ) ) )
14 peano2nn0 10004 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
153, 14ax-mp 8 . . . 4  |-  ( M  +  1 )  e. 
NN0
16 expp1 11110 . . . 4  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( M  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( 2 ^ (
( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 ) )
171, 15, 16mp2an 653 . . 3  |-  ( 2 ^ ( ( M  +  1 )  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  x.  2 )
1812, 13, 173eqtr4i 2313 . 2  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  =  ( 2 ^ (
( M  +  1 )  +  1 ) )
19 4nn0 9984 . . . . 5  |-  4  e.  NN0
2019, 4nn0mulcli 10002 . . . 4  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  e. 
NN0
2120nn0cni 9977 . . 3  |-  ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  e.  CC
2221addid1i 8999 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  (
2 ^ M ) )
233nn0cni 9977 . . . . 5  |-  M  e.  CC
24 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
2523, 24, 24addassi 8845 . . . 4  |-  ( ( M  +  1 )  +  1 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
26 df-2 9804 . . . . 5  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2726oveq2i 5869 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  ( M  +  ( 1  +  1 ) )
28 decexp2.2 . . . 4  |-  ( M  +  2 )  =  N
2925, 27, 283eqtr2ri 2310 . . 3  |-  N  =  ( ( M  + 
1 )  +  1 )
3029oveq2i 5869 . 2  |-  ( 2 ^ N )  =  ( 2 ^ (
( M  +  1 )  +  1 ) )
3118, 22, 303eqtr4i 2313 1  |-  ( ( 4  x.  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( 2 ^ N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ^cexp 11104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-seq 11047  df-exp 11105
  Copyright terms: Public domain W3C validator