MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Unicode version

Theorem declti 10332
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.1  |-  A  e.  NN
declti.2  |-  B  e. 
NN0
declti.3  |-  C  e. 
NN0
declti.4  |-  C  < 
10
Assertion
Ref Expression
declti  |-  C  < ; A B

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 10066 . . 3  |-  10  e.  NN
2 declti.1 . . 3  |-  A  e.  NN
3 declti.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 declti.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 declti.4 . . 3  |-  C  < 
10
61, 2, 3, 4, 5numlti 10331 . 2  |-  C  < 
( ( 10  x.  A )  +  B
)
7 df-dec 10308 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7breqtrri 4171 1  |-  C  < ; A B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1717   class class class wbr 4146  (class class class)co 6013    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046   NNcn 9925   10c10 9982   NN0cn0 10146  ;cdc 10307
This theorem is referenced by:  5prm  13351  7prm  13353  11prm  13357  13prm  13358  17prm  13359  19prm  13360  23prm  13361  37prm  13363  43prm  13364  83prm  13365  139prm  13366  163prm  13367  317prm  13368  631prm  13369  1259lem5  13374  2503prm  13379  4001prm  13384  ressds  13561  resshom  13566  ressco  13567  oppcbas  13864  rescbas  13949  rescabs  13953  catstr  14074  mgpds  15578  srads  16177  thlbas  16839  ressunif  18206  tuslem  18211  setsmsds  18389  tmslem  18395  tnglem  18545  tngds  18553  bpos1  20927  bposlem9  20936  zlmds  24142  log2le1  24196  fsumcube  25813
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308
  Copyright terms: Public domain W3C validator