MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  declti Structured version   Unicode version

Theorem declti 10399
Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
declti.1  |-  A  e.  NN
declti.2  |-  B  e. 
NN0
declti.3  |-  C  e. 
NN0
declti.4  |-  C  < 
10
Assertion
Ref Expression
declti  |-  C  < ; A B

Proof of Theorem declti
StepHypRef Expression
1 10nn 10133 . . 3  |-  10  e.  NN
2 declti.1 . . 3  |-  A  e.  NN
3 declti.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 declti.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 declti.4 . . 3  |-  C  < 
10
61, 2, 3, 4, 5numlti 10398 . 2  |-  C  < 
( ( 10  x.  A )  +  B
)
7 df-dec 10375 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7breqtrri 4229 1  |-  C  < ; A B
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1725   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073    + caddc 8985    x. cmul 8987    < clt 9112   NNcn 9992   10c10 10049   NN0cn0 10213  ;cdc 10374
This theorem is referenced by:  5prm  13423  7prm  13425  11prm  13429  13prm  13430  17prm  13431  19prm  13432  23prm  13433  37prm  13435  43prm  13436  83prm  13437  139prm  13438  163prm  13439  317prm  13440  631prm  13441  1259lem5  13446  2503prm  13451  4001prm  13456  ressds  13633  resshom  13638  ressco  13639  oppcbas  13936  rescbas  14021  rescabs  14025  catstr  14146  mgpds  15650  srads  16249  thlbas  16915  ressunif  18284  tuslem  18289  setsmsds  18498  tmslem  18504  tnglem  18673  tngds  18681  bpos1  21059  bposlem9  21068  zlmds  24340  log2le1  24399  fsumcube  26098
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375
  Copyright terms: Public domain W3C validator