MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decma2c Unicode version

Theorem decma2c 10211
Description: Perform a multiply-add of two numerals  M and  N against a fixed multiplicand  P (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decma.1  |-  A  e. 
NN0
decma.2  |-  B  e. 
NN0
decma.3  |-  C  e. 
NN0
decma.4  |-  D  e. 
NN0
decma.5  |-  M  = ; A B
decma.6  |-  N  = ; C D
decma2c.7  |-  P  e. 
NN0
decma2c.8  |-  F  e. 
NN0
decma2c.9  |-  G  e. 
NN0
decma2c.10  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
decma2c.11  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
Assertion
Ref Expression
decma2c  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F

Proof of Theorem decma2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10037 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decma.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
3 decma.2 . . 3  |-  B  e. 
NN0
4 decma.3 . . 3  |-  C  e. 
NN0
5 decma.4 . . 3  |-  D  e. 
NN0
6 decma.5 . . . 4  |-  M  = ; A B
7 df-dec 10172 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
86, 7eqtri 2336 . . 3  |-  M  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
9 decma.6 . . . 4  |-  N  = ; C D
10 df-dec 10172 . . . 4  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
119, 10eqtri 2336 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
12 decma2c.7 . . 3  |-  P  e. 
NN0
13 decma2c.8 . . 3  |-  F  e. 
NN0
14 decma2c.9 . . 3  |-  G  e. 
NN0
15 decma2c.10 . . 3  |-  ( ( P  x.  A )  +  ( C  +  G ) )  =  E
16 decma2c.11 . . . 4  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  = ; G F
17 df-dec 10172 . . . 4  |- ; G F  =  ( ( 10  x.  G
)  +  F )
1816, 17eqtri 2336 . . 3  |-  ( ( P  x.  B )  +  D )  =  ( ( 10  x.  G )  +  F
)
191, 2, 3, 4, 5, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 18numma2c 10204 . 2  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  =  ( ( 10  x.  E )  +  F
)
20 df-dec 10172 . 2  |- ; E F  =  ( ( 10  x.  E
)  +  F )
2119, 20eqtr4i 2339 1  |-  ( ( P  x.  M )  +  N )  = ; E F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1633    e. wcel 1701  (class class class)co 5900    + caddc 8785    x. cmul 8787   10c10 9848   NN0cn0 10012  ;cdc 10171
This theorem is referenced by:  2exp16  13150  43prm  13170  83prm  13171  139prm  13172  163prm  13173  317prm  13174  631prm  13175  1259lem1  13176  1259lem2  13177  1259lem3  13178  1259lem4  13179  1259lem5  13180  2503lem1  13182  2503lem2  13183  2503lem3  13184  2503prm  13185  4001lem1  13186  4001lem2  13187  4001lem3  13188  4001lem4  13189  4001prm  13190  log2ublem3  20297  log2ub  20298
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917  df-sub 9084  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-dec 10172
  Copyright terms: Public domain W3C validator