MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decmul2c Unicode version

Theorem decmul2c 10363
Description: The product of a numeral with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
decmul1c.1  |-  P  e. 
NN0
decmul1c.2  |-  A  e. 
NN0
decmul1c.3  |-  B  e. 
NN0
decmul1c.4  |-  N  = ; A B
decmul1c.5  |-  D  e. 
NN0
decmul1c.6  |-  E  e. 
NN0
decmul2c.7  |-  ( ( P  x.  A )  +  E )  =  C
decmul2c.8  |-  ( P  x.  B )  = ; E D
Assertion
Ref Expression
decmul2c  |-  ( P  x.  N )  = ; C D

Proof of Theorem decmul2c
StepHypRef Expression
1 10nn0 10179 . . 3  |-  10  e.  NN0
2 decmul1c.1 . . 3  |-  P  e. 
NN0
3 decmul1c.2 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decmul1c.3 . . 3  |-  B  e. 
NN0
5 decmul1c.4 . . . 4  |-  N  = ; A B
6 df-dec 10316 . . . 4  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
75, 6eqtri 2408 . . 3  |-  N  =  ( ( 10  x.  A )  +  B
)
8 decmul1c.5 . . 3  |-  D  e. 
NN0
9 decmul1c.6 . . 3  |-  E  e. 
NN0
10 decmul2c.7 . . 3  |-  ( ( P  x.  A )  +  E )  =  C
11 decmul2c.8 . . . 4  |-  ( P  x.  B )  = ; E D
12 df-dec 10316 . . . 4  |- ; E D  =  ( ( 10  x.  E
)  +  D )
1311, 12eqtri 2408 . . 3  |-  ( P  x.  B )  =  ( ( 10  x.  E )  +  D
)
141, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 13nummul2c 10352 . 2  |-  ( P  x.  N )  =  ( ( 10  x.  C )  +  D
)
15 df-dec 10316 . 2  |- ; C D  =  ( ( 10  x.  C
)  +  D )
1614, 15eqtr4i 2411 1  |-  ( P  x.  N )  = ; C D
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1717  (class class class)co 6021    + caddc 8927    x. cmul 8929   10c10 9990   NN0cn0 10154  ;cdc 10315
This theorem is referenced by:  2exp8  13351  2exp16  13352  prmlem2  13370  37prm  13371  1259lem2  13379  1259lem3  13380  1259lem4  13381  1259prm  13383  2503lem1  13384  2503lem2  13385  2503prm  13387  4001lem1  13388  4001lem2  13389  4001lem3  13390  4001prm  13392  log2ublem3  20656  log2ub  20657  birthday  20661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-ltxr 9059  df-sub 9226  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-dec 10316
  Copyright terms: Public domain W3C validator