MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Unicode version

Theorem decnncl 10153
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1  |-  A  e. 
NN0
decnncl.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
decnncl  |- ; A B  e.  NN

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10141 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 10006 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 decnncl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decnncl.2 . . 3  |-  B  e.  NN
52, 3, 4numnncl 10148 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e.  NN
61, 5eqeltri 2366 1  |- ; A B  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1696  (class class class)co 5874    + caddc 8756    x. cmul 8758   NNcn 9762   10c10 9819   NN0cn0 9981  ;cdc 10140
This theorem is referenced by:  11prm  13132  13prm  13133  17prm  13134  19prm  13135  23prm  13136  37prm  13138  43prm  13139  83prm  13140  139prm  13141  163prm  13142  317prm  13143  631prm  13144  1259lem1  13145  1259lem2  13146  1259lem3  13147  1259lem4  13148  1259lem5  13149  1259prm  13150  2503lem1  13151  2503lem2  13152  2503lem3  13153  2503prm  13154  4001lem1  13155  4001lem2  13156  4001lem3  13157  4001lem4  13158  4001prm  13159  ocndx  13323  ocid  13324  dsndx  13325  dsid  13326  odrngstr  13327  ressds  13334  homndx  13335  homid  13336  ccondx  13337  ccoid  13338  resshom  13339  ressco  13340  imasvalstr  13368  prdsvalstr  13369  oppchomfval  13633  oppccofval  13635  oppcbas  13637  rescbas  13722  reschom  13723  rescco  13725  rescabs  13726  catstr  13847  fuccofval  13849  fuchom  13851  setchomfval  13927  setccofval  13930  catchomfval  13946  catccofval  13948  ipostr  14272  mgpds  15351  srads  15954  cnfldstr  16395  tmslem  18044  mcubic  20159  cubic2  20160  cubic  20161  quart1cl  20166  quart1lem  20167  quart1  20168  quartlem1  20169  quartlem2  20170  log2ub  20261  birthday  20265  bposlem8  20546  bposlem9  20547  pntlemd  20759  pntlema  20761  pntlemb  20762  pntlemf  20770  pntlemo  20772  log2le1  23424
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-dec 10141
  Copyright terms: Public domain W3C validator