MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decnncl Unicode version

Theorem decnncl 10137
Description: Closure for a numeral. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
decnncl.1  |-  A  e. 
NN0
decnncl.2  |-  B  e.  NN
Assertion
Ref Expression
decnncl  |- ; A B  e.  NN

Proof of Theorem decnncl
StepHypRef Expression
1 df-dec 10125 . 2  |- ; A B  =  ( ( 10  x.  A
)  +  B )
2 10nn0 9990 . . 3  |-  10  e.  NN0
3 decnncl.1 . . 3  |-  A  e. 
NN0
4 decnncl.2 . . 3  |-  B  e.  NN
52, 3, 4numnncl 10132 . 2  |-  ( ( 10  x.  A )  +  B )  e.  NN
61, 5eqeltri 2353 1  |- ; A B  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   10c10 9803   NN0cn0 9965  ;cdc 10124
This theorem is referenced by:  11prm  13116  13prm  13117  17prm  13118  19prm  13119  23prm  13120  37prm  13122  43prm  13123  83prm  13124  139prm  13125  163prm  13126  317prm  13127  631prm  13128  1259lem1  13129  1259lem2  13130  1259lem3  13131  1259lem4  13132  1259lem5  13133  1259prm  13134  2503lem1  13135  2503lem2  13136  2503lem3  13137  2503prm  13138  4001lem1  13139  4001lem2  13140  4001lem3  13141  4001lem4  13142  4001prm  13143  ocndx  13307  ocid  13308  dsndx  13309  dsid  13310  odrngstr  13311  ressds  13318  homndx  13319  homid  13320  ccondx  13321  ccoid  13322  resshom  13323  ressco  13324  imasvalstr  13352  prdsvalstr  13353  oppchomfval  13617  oppccofval  13619  oppcbas  13621  rescbas  13706  reschom  13707  rescco  13709  rescabs  13710  catstr  13831  fuccofval  13833  fuchom  13835  setchomfval  13911  setccofval  13914  catchomfval  13930  catccofval  13932  ipostr  14256  mgpds  15335  srads  15938  cnfldstr  16379  tmslem  18028  mcubic  20143  cubic2  20144  cubic  20145  quart1cl  20150  quart1lem  20151  quart1  20152  quartlem1  20153  quartlem2  20154  log2ub  20245  birthday  20249  bposlem8  20530  bposlem9  20531  pntlemd  20743  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntlemf  20754  pntlemo  20756  log2le1  23409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-dec 10125
  Copyright terms: Public domain W3C validator