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Theorem dedekindle 24098
Description: The Dedekind cut theorem, with the hypothesis weakened to only require non-strict less than. (Contributed by Scott Fenton, 2-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
dedekindle  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z

Proof of Theorem dedekindle
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr1 961 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A  C_  RR )
2 simpr2 962 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  B  C_  RR )
3 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A  i^i  B )  =  (/) )
4 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  x  e.  A )
5 disjel 3514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
63, 4, 5syl2an 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  -.  x  e.  B )
7 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
87biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  =  x  ->  x  e.  B )
)
98necon3bd 2496 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  B  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
109ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( -.  x  e.  B  ->  y  =/=  x ) )
116, 10mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  =/=  x )
12 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
13 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
1412, 4, 13syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  x  e.  RR )
15 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  B  C_  RR )
16 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  B )
17 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
1815, 16, 17syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  y  e.  RR )
1914, 18ltlend 8980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <  y  <->  ( x  <_ 
y  /\  y  =/=  x ) ) )
2019biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( (
x  <_  y  /\  y  =/=  x )  ->  x  <  y ) )
2111, 20mpan2d 655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)  ->  ( x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2221anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  y  ->  x  <  y ) )
2322ralimdva 2634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  i^i  B )  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. y  e.  B  x  <  y ) )
2423ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) )
25243exp 1150 . . . . 5  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( A 
C_  RR  ->  ( B 
C_  RR  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y ) ) ) )
26253imp2 1166 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )
27 dedekind 24097 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
281, 2, 26, 27syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  =  (/)  /\  ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
2928ex 423 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
30 n0 3477 . . 3  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  ( A  i^i  B
) )
31 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A  C_  RR )
32 inss1 3402 . . . . . . . 8  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
3332sseli 3189 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  A )
34 ssel2 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  w  e.  A )  ->  w  e.  RR )
3531, 33, 34syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  w  e.  RR )
36 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  A  C_  RR
37 nfv 1609 . . . . . . . . 9  |-  F/ x  B  C_  RR
38 nfra1 2606 . . . . . . . . 9  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
3936, 37, 38nf3an 1786 . . . . . . . 8  |-  F/ x
( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
40 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ x  w  e.  ( A  i^i  B )
4139, 40nfan 1783 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B ) )
42 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  A  C_  RR
43 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  B  C_  RR
44 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y A
45 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. y  e.  B  x  <_  y
4644, 45nfral 2609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
4742, 43, 46nf3an 1786 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
48 nfv 1609 . . . . . . . . . 10  |-  F/ y ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A
)
4947, 48nfan 1783 . . . . . . . . 9  |-  F/ y ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)
50 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  B  x  <_  y ) )
51 inss2 3403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  i^i  B )  C_  B
5251sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  w  e.  B )
53 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  x  <_  w ) )
5453rspccv 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  B  ->  x  <_  w ) )
5552, 54syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  x  <_  w ) )
5650, 55syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( x  e.  A  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  x  <_  w ) ) )
5756com23 72 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  ->  ( w  e.  ( A  i^i  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  x  <_  w ) ) )
5857imp32 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
59583ad2antl3 1119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  x  <_  w )
6059adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  x  <_  w )
61 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )
6233adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )  ->  w  e.  A )
63 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  (
x  <_  y  <->  w  <_  y ) )
6463ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( A. y  e.  B  x  <_  y  <->  A. y  e.  B  w  <_  y ) )
6564rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y  /\  w  e.  A )  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6661, 62, 65syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  w  <_  y )
6766r19.21bi 2654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  w  <_  y )
6860, 67jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\ 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  ( w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  /\  y  e.  B )  ->  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )
6968ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  ( y  e.  B  ->  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
7049, 69ralrimi 2637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  (
w  e.  ( A  i^i  B )  /\  x  e.  A )
)  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
7170expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  (
x  e.  A  ->  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
7241, 71ralrimi 2637 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) )
73 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
x  <_  z  <->  x  <_  w ) )
74 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
z  <_  y  <->  w  <_  y ) )
7573, 74anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <-> 
( x  <_  w  /\  w  <_  y ) ) )
76752ralbidv 2598 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  z  /\  z  <_  y )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_  w  /\  w  <_ 
y ) ) )
7776rspcev 2897 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  w  /\  w  <_  y ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) )
7835, 72, 77syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  /\  w  e.  ( A  i^i  B
) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
7978expcom 424 . . . 4  |-  ( w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
8079exlimiv 1624 . . 3  |-  ( E. w  w  e.  ( A  i^i  B )  ->  ( ( A 
C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y
)  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
8130, 80sylbi 187 . 2  |-  ( ( A  i^i  B )  =/=  (/)  ->  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) ) )
8229, 81pm2.61ine 2535 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  x  <_  y )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x  <_ 
z  /\  z  <_  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  axcontlem10  24673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
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