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Theorem dedi 25737
Description: Properties of a deductive system. (Contributed by FL, 24-Oct-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
dedi.1  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
dedi.2  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
dedi.3  |-  J  =  ( id_ `  T
)
dedi.4  |-  R  =  ( o_ `  T
)
dedi.5  |-  M  =  dom  D
dedi.6  |-  O  =  dom  J
Assertion
Ref Expression
dedi  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    C, a,
f, g    D, a,
f, g    J, a    R, f, g
Allowed substitution hints:    R( a)    T( f, g, a)    J( f, g)    M( f, g, a)    O( f, g, a)

Proof of Theorem dedi
Dummy variables  c 
d  j  r  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ded 25735 . . 3  |-  Ded  =  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  = 
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  /\  ( ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) }
21eleq2i 2347 . 2  |-  ( T  e.  Ded  <->  T  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  = 
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  /\  ( ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) } )
3 dedi.1 . . . . . . 7  |-  D  =  ( dom_ `  T
)
43domval 25723 . . . . . 6  |-  D  =  ( 1st `  ( 1st `  T ) )
54eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( 1st `  ( 1st `  T
) )  =  D
65eqeq2i 2293 . . . 4  |-  ( d  =  ( 1st `  ( 1st `  T ) )  <-> 
d  =  D )
7 opeq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  <. d ,  c >.  =  <. D ,  c >. )
87opeq1d 3802 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  c >. , 
<. j ,  r >. >. )
98eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  <->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  ) )
10 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  ( j `  a ) )  =  ( D `  (
j `  a )
) )
1110eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( D `  ( j `  a
) )  =  a ) )
1211anbi1d 685 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  <->  ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a ) ) )
1312ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. a  e.  dom  j ( ( d `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  <->  A. a  e.  dom  j ( ( D `  ( j `
 a ) )  =  a  /\  (
c `  ( j `  a ) )  =  a ) ) )
14 dmeq 4879 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  dom  D )
15 dedi.5 . . . . . . . . . 10  |-  M  =  dom  D
1614, 15syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  dom  d  =  M )
1716eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
f  e.  dom  d  <->  f  e.  M ) )
1816eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
g  e.  dom  d  <->  g  e.  M ) )
19 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  g )  =  ( D `  g ) )
2019eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) )
2120bibi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) )
2218, 21imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) ) )
2322ralbidv2 2565 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) )  <->  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) ) )
2417, 23imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) ) )
2524ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( d `  g
)  =  ( c `
 f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) ) )
269, 13, 253anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( <. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  c >. , 
<. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j ( ( D `  (
j `  a )
)  =  a  /\  ( c `  (
j `  a )
)  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) ) ) )
27 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  ( g
r f ) )  =  ( D `  ( g r f ) ) )
28 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  D  ->  (
d `  f )  =  ( D `  f ) )
2927, 28eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  D  ->  (
( d `  (
g r f ) )  =  ( d `
 f )  <->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) )
3020, 29imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
3118, 30imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g
r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) ) )
3231ralbidv2 2565 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  <->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
3317, 32imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g
r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) ) )
3433ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
3520imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )
3618, 35imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
( g  e.  dom  d  ->  ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <->  ( g  e.  M  ->  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) )
3736ralbidv2 2565 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  ( A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )
3817, 37imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( f  e.  dom  d  ->  A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <->  ( f  e.  M  ->  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) )
3938ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )
4034, 39anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( A. f  e. 
dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
d `  ( g
r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) )
4126, 40anbi12d 691 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( d `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d (
<. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  c >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) )
426, 41sylbi 187 . . 3  |-  ( d  =  ( 1st `  ( 1st `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. d ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( d `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( <.
g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( d `  ( g r f ) )  =  ( d `  f ) )  /\  A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  c >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) ) ) )
43 dedi.2 . . . . . . 7  |-  C  =  ( cod_ `  T
)
4443codval 25724 . . . . . 6  |-  C  =  ( 2nd `  ( 1st `  T ) )
4544eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( 1st `  T
) )  =  C
4645eqeq2i 2293 . . . 4  |-  ( c  =  ( 2nd `  ( 1st `  T ) )  <-> 
c  =  C )
47 opeq2 3797 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  <. D , 
c >.  =  <. D ,  C >. )
4847opeq1d 3802 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >. )
4948eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  ) )
50 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  ( j `  a ) )  =  ( C `  (
j `  a )
) )
5150eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( c `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( C `  ( j `  a
) )  =  a ) )
5251anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  <->  ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a ) ) )
5352ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  <->  A. a  e.  dom  j ( ( D `  ( j `
 a ) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a ) )  =  a ) ) )
54 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  f )  =  ( C `  f ) )
5554eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )
5655bibi2d 309 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) ) )
57562ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) )
5849, 53, 573anbi123d 1252 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( <. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) ) )
5955imbi1d 308 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
60592ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
61 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( C `  ( g r f ) ) )
62 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  C  ->  (
c `  g )  =  ( C `  g ) )
6361, 62eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  C  ->  (
( c `  (
g r f ) )  =  ( c `
 g )  <->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) )
6455, 63imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
65642ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( c  =  C  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
6660, 65anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( c  =  C  ->  (
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) )  <-> 
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) )
6758, 66anbi12d 691 . . . 4  |-  ( c  =  C  ->  (
( ( <. <. D , 
c >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( c `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( c `  f )  ->  (
c `  ( g
r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j ( ( D `  (
j `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( j `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
6846, 67sylbi 187 . . 3  |-  ( c  =  ( 2nd `  ( 1st `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. D ,  c
>. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( c `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( c `
 f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( c `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( c `  f
)  ->  ( c `  ( g r f ) )  =  ( c `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( C `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
69 dedi.3 . . . . . . 7  |-  J  =  ( id_ `  T
)
7069idval 25725 . . . . . 6  |-  J  =  ( 1st `  ( 2nd `  T ) )
7170eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( 1st `  ( 2nd `  T
) )  =  J
7271eqeq2i 2293 . . . 4  |-  ( j  =  ( 1st `  ( 2nd `  T ) )  <-> 
j  =  J )
73 opeq1 3796 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  <. j ,  r >.  =  <. J ,  r >. )
7473opeq2d 3803 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  =  <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >. )
7574eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Alg  )
)
76 dmeq 4879 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  dom  J )
77 dedi.6 . . . . . . . . . 10  |-  O  =  dom  J
7876, 77syl6eqr 2333 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  dom  j  =  O )
7978eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
a  e.  dom  j  <->  a  e.  O ) )
80 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  J  ->  (
j `  a )  =  ( J `  a ) )
8180fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( D `  ( j `  a ) )  =  ( D `  ( J `  a )
) )
8281eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( D `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( D `  ( J `  a
) )  =  a ) )
8380fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  J  ->  ( C `  ( j `  a ) )  =  ( C `  ( J `  a )
) )
8483eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  J  ->  (
( C `  (
j `  a )
)  =  a  <->  ( C `  ( J `  a
) )  =  a ) )
8582, 84anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a
) )  =  a )  <->  ( ( D `
 ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a ) ) )
8679, 85imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( j  =  J  ->  (
( a  e.  dom  j  ->  ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a ) )  <->  ( a  e.  O  ->  ( ( D `  ( J `
 a ) )  =  a  /\  ( C `  ( J `  a ) )  =  a ) ) ) )
8786ralbidv2 2565 . . . . . 6  |-  ( j  =  J  ->  ( A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a )  <->  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a ) ) )
8875, 873anbi12d 1253 . . . . 5  |-  ( j  =  J  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) ) )
8988anbi1d 685 . . . 4  |-  ( j  =  J  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r >. >.  e.  Alg  /\ 
A. a  e.  dom  j ( ( D `
 ( j `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( j `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  (
( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
9072, 89sylbi 187 . . 3  |-  ( j  =  ( 1st `  ( 2nd `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. D ,  C >. ,  <. j ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  dom  j
( ( D `  ( j `  a
) )  =  a  /\  ( C `  ( j `  a
) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r 
<->  ( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  (
( D `  g
)  =  ( C `
 f )  -> 
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
91 dedi.4 . . . . . . 7  |-  R  =  ( o_ `  T
)
9291cmpval 25726 . . . . . 6  |-  R  =  ( 2nd `  ( 2nd `  T ) )
9392eqcomi 2287 . . . . 5  |-  ( 2nd `  ( 2nd `  T
) )  =  R
9493eqeq2i 2293 . . . 4  |-  ( r  =  ( 2nd `  ( 2nd `  T ) )  <-> 
r  =  R )
95 opeq2 3797 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  <. J , 
r >.  =  <. J ,  R >. )
9695opeq2d 3803 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  =  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >. )
9796eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Alg  <->  <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  )
)
98 dmeq 4879 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  dom  r  =  dom  R )
9998eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  <. g ,  f >.  e.  dom  R ) )
10099bibi1d 310 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  <->  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <-> 
( D `  g
)  =  ( C `
 f ) ) ) )
1011002ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f
>.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) )
10297, 1013anbi13d 1254 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  <->  ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) ) ) )
103 oveq 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
g r f )  =  ( g R f ) )
104103fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( D `  ( g
r f ) )  =  ( D `  ( g R f ) ) )
105104eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( D `  (
g r f ) )  =  ( D `
 f )  <->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) ) )
106105imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
1071062ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) ) ) )
108103fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  R  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  ( g R f ) ) )
109108eqeq1d 2291 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  R  ->  (
( C `  (
g r f ) )  =  ( C `
 g )  <->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) )
110109imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) )  <->  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
1111102ralbidv 2585 . . . . . 6  |-  ( r  =  R  ->  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g r f ) )  =  ( C `  g ) )  <->  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )
112107, 111anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( r  =  R  ->  (
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) )  <-> 
( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `
 g )  =  ( C `  f
)  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) )
113102, 112anbi12d 691 . . . 4  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( <. <. D ,  C >. ,  <. J , 
r >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
 a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g r f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g
r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
 ( J `  a ) )  =  a )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( <. g ,  f >.  e.  dom  R  <->  ( D `  g )  =  ( C `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( D `  ( g R f ) )  =  ( D `  f ) )  /\  A. f  e.  M  A. g  e.  M  ( ( D `  g )  =  ( C `  f )  ->  ( C `  ( g R f ) )  =  ( C `  g ) ) ) ) ) )
11494, 113sylbi 187 . . 3  |-  ( r  =  ( 2nd `  ( 2nd `  T ) )  ->  ( ( (
<. <. D ,  C >. ,  <. J ,  r
>. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
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r f ) )  =  ( C `  g ) ) ) )  <->  ( ( <. <. D ,  C >. , 
<. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a ) )  =  a  /\  ( C `
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11542, 68, 90, 114eloi 25086 . 2  |-  ( T  e.  { x  |  E. d E. c E. j E. r ( x  =  <. <. d ,  c >. ,  <. j ,  r >. >.  /\  (
( <. <. d ,  c
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g ,  f >.  e.  dom  r  <->  ( d `  g )  =  ( c `  f ) ) )  /\  ( A. f  e.  dom  d A. g  e.  dom  d ( ( d `
 g )  =  ( c `  f
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c `  ( g
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1162, 115sylbi 187 1  |-  ( T  e.  Ded  ->  (
( <. <. D ,  C >. ,  <. J ,  R >. >.  e.  Alg  /\  A. a  e.  O  ( ( D `  ( J `  a )
)  =  a  /\  ( C `  ( J `
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Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   <.cop 3643   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121    Alg calg 25711   dom_cdom_ 25712   cod_ccod_ 25713   id_cid_ 25714   o_co_ 25715   Dedcded 25734
This theorem is referenced by:  dedalg  25743  idosd  25744  cmppfd  25745  domcmpd  25746  codcmpd  25747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fo 5261  df-fv 5263  df-ov 5861  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-dom_ 25717  df-cod_ 25718  df-id_ 25719  df-cmpa 25720  df-ded 25735
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