MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1add Structured version   Unicode version

Theorem deg1add 20018
Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1addle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1addle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
deg1addle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1addle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1add.l  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
Assertion
Ref Expression
deg1add  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `  F ) )

Proof of Theorem deg1add
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . . 4  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
2 deg1addle.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 deg1addle.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 deg1addle.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 deg1addle.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
6 deg1addle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 deg1addle.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7deg1addle 20016 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
9 deg1add.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
102, 1, 4deg1xrcl 19997 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
122, 1, 4deg1xrcl 19997 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
136, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
14 xrltnle 9136 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  G
)  <  ( D `  F )  <->  -.  ( D `  F )  <_  ( D `  G
) ) )
1511, 13, 14syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D `  G )  <  ( D `  F )  <->  -.  ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ) )
169, 15mpbid 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  F )  <_  ( D `  G )
)
17 iffalse 3738 . . . 4  |-  ( -.  ( D `  F
)  <_  ( D `  G )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  =  ( D `
 F ) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  =  ( D `  F ) )
198, 18breqtrd 4228 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  ( D `  F ) )
201ply1rng 16634 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
213, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
224, 5rngacl 15683 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+  G )  e.  B )
2321, 6, 7, 22syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
24 nltmnf 10718 . . . . . 6  |-  ( ( D `  G )  e.  RR*  ->  -.  ( D `  G )  <  -oo )
2511, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  G )  <  -oo )
269adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  G )  <  ( D `  F )
)
27 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  ( 0g `  Y )  ->  ( D `  F )  =  ( D `  ( 0g `  Y ) ) )
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
292, 1, 28deg1z 20002 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( D `
 ( 0g `  Y ) )  = 
-oo )
303, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 0g `  Y ) )  =  -oo )
3127, 30sylan9eqr 2489 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  F )  =  -oo )
3226, 31breqtrd 4228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  G )  <  -oo )
3332ex 424 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( 0g `  Y )  ->  ( D `  G )  <  -oo ) )
3433necon3bd 2635 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  ( D `
 G )  <  -oo  ->  F  =/=  ( 0g `  Y ) ) )
3525, 34mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =/=  ( 0g
`  Y ) )
362, 1, 28, 4deg1nn0cl 20003 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/=  ( 0g `  Y
) )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
373, 6, 35, 36syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
38 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
391, 4, 5, 38coe1addfv 16650 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  ( D `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  G
) `  ( D `  F ) ) ) )
403, 6, 7, 37, 39syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  G
) `  ( D `  F ) ) ) )
41 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
42 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
432, 1, 4, 41, 42deg1lt 20012 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  NN0  /\  ( D `  G )  <  ( D `  F
) )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  F ) )  =  ( 0g
`  R ) )
447, 37, 9, 43syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  F ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4544oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  G ) `  ( D `  F ) ) )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
46 rnggrp 15661 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
473, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
48 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
49 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5048, 4, 1, 49coe1f 16601 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
516, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
5251, 37ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  e.  ( Base `  R ) )
5349, 38, 41grprid 14828 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  F
) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) )
5540, 45, 543eqtrd 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F )
) )
562, 1, 28, 4, 41, 48deg1ldg 20007 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/=  ( 0g `  Y
) )  ->  (
(coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
573, 6, 35, 56syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5855, 57eqnetrd 2616 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
59 eqid 2435 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .+  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .+  G ) )
602, 1, 4, 41, 59deg1ge 20013 . . 3  |-  ( ( ( F  .+  G
)  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  NN0  /\  (
(coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )  ->  ( D `  F )  <_  ( D `  ( F  .+  G ) ) )
6123, 37, 58, 60syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  ( D `  ( F  .+  G
) ) )
622, 1, 4deg1xrcl 19997 . . . 4  |-  ( ( F  .+  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  e. 
RR* )
6323, 62syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  e.  RR* )
64 xrletri3 10737 . . 3  |-  ( ( ( D `  ( F  .+  G ) )  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `  F )  <->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_ 
( D `  F
)  /\  ( D `  F )  <_  ( D `  ( F  .+  G ) ) ) ) )
6563, 13, 64syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `
 F )  <->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_ 
( D `  F
)  /\  ( D `  F )  <_  ( D `  ( F  .+  G ) ) ) ) )
6619, 61, 65mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ifcif 3731   class class class wbr 4204   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    -oocmnf 9110   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   Ringcrg 15652  Poly1cpl1 16563  coe1cco1 16566   deg1 cdg1 19969
This theorem is referenced by:  deg1sub  20023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-subrg 15858  df-psr 16409  df-mpl 16411  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570  df-coe1 16573  df-cnfld 16696  df-mdeg 19970  df-deg1 19971
  Copyright terms: Public domain W3C validator