MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1add Structured version   Unicode version

Theorem deg1add 20031
Description: Exact degree of a sum of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1addle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1addle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
deg1addle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1addle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1add.l  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
Assertion
Ref Expression
deg1add  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `  F ) )

Proof of Theorem deg1add
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . . 4  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
2 deg1addle.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 deg1addle.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 deg1addle.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 deg1addle.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
6 deg1addle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
7 deg1addle.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7deg1addle 20029 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
9 deg1add.l . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
102, 1, 4deg1xrcl 20010 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
117, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
122, 1, 4deg1xrcl 20010 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
136, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
14 xrltnle 9149 . . . . . 6  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  G
)  <  ( D `  F )  <->  -.  ( D `  F )  <_  ( D `  G
) ) )
1511, 13, 14syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D `  G )  <  ( D `  F )  <->  -.  ( D `  F
)  <_  ( D `  G ) ) )
169, 15mpbid 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  F )  <_  ( D `  G )
)
17 iffalse 3748 . . . 4  |-  ( -.  ( D `  F
)  <_  ( D `  G )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  =  ( D `
 F ) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  =  ( D `  F ) )
198, 18breqtrd 4239 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  ( D `  F ) )
201ply1rng 16647 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
213, 20syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
224, 5rngacl 15696 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+  G )  e.  B )
2321, 6, 7, 22syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
24 nltmnf 10731 . . . . . 6  |-  ( ( D `  G )  e.  RR*  ->  -.  ( D `  G )  <  -oo )
2511, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( D `  G )  <  -oo )
269adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  G )  <  ( D `  F )
)
27 fveq2 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( F  =  ( 0g `  Y )  ->  ( D `  F )  =  ( D `  ( 0g `  Y ) ) )
28 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
292, 1, 28deg1z 20015 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( D `
 ( 0g `  Y ) )  = 
-oo )
303, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( D `  ( 0g `  Y ) )  =  -oo )
3127, 30sylan9eqr 2492 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  F )  =  -oo )
3226, 31breqtrd 4239 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  F  =  ( 0g `  Y ) )  ->  ( D `  G )  <  -oo )
3332ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F  =  ( 0g `  Y )  ->  ( D `  G )  <  -oo ) )
3433necon3bd 2640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  ( D `
 G )  <  -oo  ->  F  =/=  ( 0g `  Y ) ) )
3525, 34mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =/=  ( 0g
`  Y ) )
362, 1, 28, 4deg1nn0cl 20016 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/=  ( 0g `  Y
) )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
373, 6, 35, 36syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  NN0 )
38 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
391, 4, 5, 38coe1addfv 16663 . . . . . 6  |-  ( ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  /\  ( D `  F
)  e.  NN0 )  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  G
) `  ( D `  F ) ) ) )
403, 6, 7, 37, 39syl31anc 1188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R
) ( (coe1 `  G
) `  ( D `  F ) ) ) )
41 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
42 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
432, 1, 4, 41, 42deg1lt 20025 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  NN0  /\  ( D `  G )  <  ( D `  F
) )  ->  (
(coe1 `  G ) `  ( D `  F ) )  =  ( 0g
`  R ) )
447, 37, 9, 43syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  G ) `  ( D `  F ) )  =  ( 0g
`  R ) )
4544oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R ) ( (coe1 `  G ) `  ( D `  F ) ) )  =  ( ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R
) ( 0g `  R ) ) )
46 rnggrp 15674 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
473, 46syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
48 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
49 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5048, 4, 1, 49coe1f 16614 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  B  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
516, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (coe1 `  F ) : NN0 --> ( Base `  R
) )
5251, 37ffvelrnd 5874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  e.  ( Base `  R ) )
5349, 38, 41grprid 14841 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Grp  /\  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( ( (coe1 `  F
) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( (coe1 `  F
) `  ( D `  F ) ) ( +g  `  R ) ( 0g `  R
) )  =  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) ) )
5540, 45, 543eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F )
) )
562, 1, 28, 4, 41, 48deg1ldg 20020 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/=  ( 0g `  Y
) )  ->  (
(coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
573, 6, 35, 56syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  F ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
5855, 57eqnetrd 2621 . . 3  |-  ( ph  ->  ( (coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )
59 eqid 2438 . . . 4  |-  (coe1 `  ( F  .+  G ) )  =  (coe1 `  ( F  .+  G ) )
602, 1, 4, 41, 59deg1ge 20026 . . 3  |-  ( ( ( F  .+  G
)  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  NN0  /\  (
(coe1 `  ( F  .+  G ) ) `  ( D `  F ) )  =/=  ( 0g
`  R ) )  ->  ( D `  F )  <_  ( D `  ( F  .+  G ) ) )
6123, 37, 58, 60syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  ( D `  ( F  .+  G
) ) )
622, 1, 4deg1xrcl 20010 . . . 4  |-  ( ( F  .+  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  e. 
RR* )
6323, 62syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  e.  RR* )
64 xrletri3 10750 . . 3  |-  ( ( ( D `  ( F  .+  G ) )  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `  F )  <->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_ 
( D `  F
)  /\  ( D `  F )  <_  ( D `  ( F  .+  G ) ) ) ) )
6563, 13, 64syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `
 F )  <->  ( ( D `  ( F  .+  G ) )  <_ 
( D `  F
)  /\  ( D `  F )  <_  ( D `  ( F  .+  G ) ) ) ) )
6619, 61, 65mpbir2and 890 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  =  ( D `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   ifcif 3741   class class class wbr 4215   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    -oocmnf 9123   RR*cxr 9124    < clt 9125    <_ cle 9126   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   0gc0g 13728   Grpcgrp 14690   Ringcrg 15665  Poly1cpl1 16576  coe1cco1 16579   deg1 cdg1 19982
This theorem is referenced by:  deg1sub  20036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-ply1 16583  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984
  Copyright terms: Public domain W3C validator