MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1addle2 Unicode version

Theorem deg1addle2 19885
Description: If both factors have degree bounded by  L, then the sum of the polynomials also has degree bounded by  L. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1addle.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1addle.p  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
deg1addle.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1addle.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1addle2.l1  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
deg1addle2.l2  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
deg1addle2.l3  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
Assertion
Ref Expression
deg1addle2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  L )

Proof of Theorem deg1addle2
StepHypRef Expression
1 deg1addle.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 deg1addle.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
32ply1rng 16562 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Ring )
5 deg1addle.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
6 deg1addle.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
7 deg1addle.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
8 deg1addle.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  Y )
97, 8rngacl 15611 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .+  G )  e.  B )
104, 5, 6, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .+  G
)  e.  B )
11 deg1addle.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
1211, 2, 7deg1xrcl 19865 . . 3  |-  ( ( F  .+  G )  e.  B  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  e. 
RR* )
1310, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  e.  RR* )
1411, 2, 7deg1xrcl 19865 . . . 4  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  e.  RR* )
156, 14syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  e.  RR* )
1611, 2, 7deg1xrcl 19865 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
175, 16syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  e.  RR* )
18 ifcl 3711 . . 3  |-  ( ( ( D `  G
)  e.  RR*  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  e.  RR* )
1915, 17, 18syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  e.  RR* )
20 deg1addle2.l1 . 2  |-  ( ph  ->  L  e.  RR* )
212, 11, 1, 7, 8, 5, 6deg1addle 19884 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
22 deg1addle2.l2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  <_  L )
23 deg1addle2.l3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <_  L )
24 xrmaxle 10696 . . . 4  |-  ( ( ( D `  F
)  e.  RR*  /\  ( D `  G )  e.  RR*  /\  L  e. 
RR* )  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L  <->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `
 G )  <_  L ) ) )
2517, 15, 20, 24syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) )  <_  L 
<->  ( ( D `  F )  <_  L  /\  ( D `  G
)  <_  L )
) )
2622, 23, 25mpbir2and 889 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  <_  L
)
2713, 19, 20, 21, 26xrletrd 10677 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .+  G ) )  <_  L )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ifcif 3675   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   RR*cxr 9045    <_ cle 9047   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   Ringcrg 15580  Poly1cpl1 16491   deg1 cdg1 19837
This theorem is referenced by:  hbtlem2  26990
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-subrg 15786  df-psr 16337  df-mpl 16339  df-opsr 16345  df-psr1 16496  df-ply1 16498  df-cnfld 16620  df-mdeg 19838  df-deg1 19839
  Copyright terms: Public domain W3C validator