MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1invg Structured version   Unicode version

Theorem deg1invg 20034
Description: The degree of the negated polynomial is the same as the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1invg.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1invg.n  |-  N  =  ( inv g `  Y )
deg1invg.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
Assertion
Ref Expression
deg1invg  |-  ( ph  ->  ( D `  ( N `  F )
)  =  ( D `
 F ) )

Proof of Theorem deg1invg
StepHypRef Expression
1 deg1addle.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 deg1addle.y . . . . . 6  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
32ply1lmod 16651 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
LMod )
41, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  LMod )
5 deg1invg.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
6 deg1invg.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
7 deg1invg.n . . . . 5  |-  N  =  ( inv g `  Y )
82ply1sca2 16653 . . . . 5  |-  (  _I 
`  R )  =  (Scalar `  Y )
9 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( .s
`  Y )  =  ( .s `  Y
)
10 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 1r
`  (  _I  `  R ) )  =  ( 1r `  (  _I  `  R ) )
11 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  R )
1211grpinvfvi 14851 . . . . 5  |-  ( inv g `  R )  =  ( inv g `  (  _I  `  R
) )
136, 7, 8, 9, 10, 12lmodvneg1 15992 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  LMod  /\  F  e.  B )  ->  (
( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  (  _I  `  R ) ) ) ( .s `  Y
) F )  =  ( N `  F
) )
144, 5, 13syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( inv g `  R ) `
 ( 1r `  (  _I  `  R ) ) ) ( .s
`  Y ) F )  =  ( N `
 F ) )
1514fveq2d 5735 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  (  _I  `  R ) ) ) ( .s `  Y
) F ) )  =  ( D `  ( N `  F ) ) )
16 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
17 eqid 2438 . . 3  |-  (RLReg `  R )  =  (RLReg `  R )
18 fvi 5786 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  (  _I 
`  R )  =  R )
191, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  _I  `  R
)  =  R )
2019fveq2d 5735 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1r `  (  _I  `  R ) )  =  ( 1r `  R ) )
2120fveq2d 5735 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  (  _I  `  R ) ) )  =  ( ( inv g `  R ) `
 ( 1r `  R ) ) )
22 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
2317, 22unitrrg 16358 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (Unit `  R )  C_  (RLReg `  R ) )
241, 23syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (Unit `  R )  C_  (RLReg `  R )
)
25 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2622, 251unit 15768 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  (Unit `  R )
)
271, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  R
)  e.  (Unit `  R ) )
2822, 11unitnegcl 15791 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( 1r `  R )  e.  (Unit `  R )
)  ->  ( ( inv g `  R ) `
 ( 1r `  R ) )  e.  (Unit `  R )
)
291, 27, 28syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  (Unit `  R
) )
3024, 29sseldd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  R ) )  e.  (RLReg `  R
) )
3121, 30eqeltrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  (  _I  `  R ) ) )  e.  (RLReg `  R
) )
322, 16, 1, 6, 17, 9, 31, 5deg1vsca 20033 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( ( inv g `  R ) `  ( 1r `  (  _I  `  R ) ) ) ( .s `  Y
) F ) )  =  ( D `  F ) )
3315, 32eqtr3d 2472 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( N `  F )
)  =  ( D `
 F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322    _I cid 4496   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   .scvsca 13538   inv gcminusg 14691   Ringcrg 15665   1rcur 15667  Unitcui 15749   LModclmod 15955  RLRegcrlreg 16344  Poly1cpl1 16576   deg1 cdg1 19982
This theorem is referenced by:  deg1suble  20035  deg1sub  20036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-tpos 6482  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-subg 14946  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-oppr 15733  df-dvdsr 15751  df-unit 15752  df-invr 15782  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-rlreg 16348  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-ply1 16583  df-mdeg 19983  df-deg1 19984
  Copyright terms: Public domain W3C validator