MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1ldgn Unicode version

Theorem deg1ldgn 19884
Description: An index at which a polynomial is zero, cannot be its degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
deg1nn0cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1ldg.y  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
deg1ldg.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
deg1ldgn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1ldgn.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1ldgn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
deg1ldgn.e  |-  ( ph  ->  ( A `  X
)  =  Y )
Assertion
Ref Expression
deg1ldgn  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =/=  X )

Proof of Theorem deg1ldgn
StepHypRef Expression
1 deg1ldgn.e . 2  |-  ( ph  ->  ( A `  X
)  =  Y )
2 fveq2 5669 . . . . . 6  |-  ( ( D `  F )  =  X  ->  ( A `  ( D `  F ) )  =  ( A `  X
) )
32adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  ( A `  ( D `  F
) )  =  ( A `  X ) )
4 deg1ldgn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  R  e.  Ring )
6 deg1ldgn.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  F  e.  B )
8 deg1ldgn.x . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  NN0 )
9 eleq1a 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  NN0  ->  ( ( D `  F )  =  X  ->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  =  X  ->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
1110imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
12 deg1z.d . . . . . . . . . 10  |-  D  =  ( deg1  `  R )
13 deg1z.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  (Poly1 `  R )
14 deg1z.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
15 deg1nn0cl.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  P
)
1612, 13, 14, 15deg1nn0clb 19881 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =/=  .0.  <->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
174, 6, 16syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F  =/=  .0.  <->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
1817adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  ( F  =/=  .0.  <->  ( D `  F )  e.  NN0 ) )
1911, 18mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  F  =/=  .0.  )
20 deg1ldg.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( 0g `  R
)
21 deg1ldg.a . . . . . . 7  |-  A  =  (coe1 `  F )
2212, 13, 14, 15, 20, 21deg1ldg 19883 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( A `  ( D `  F ) )  =/= 
Y )
235, 7, 19, 22syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  ( A `  ( D `  F
) )  =/=  Y
)
243, 23eqnetrrd 2571 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( D `  F )  =  X )  ->  ( A `  X )  =/=  Y
)
2524ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  =  X  ->  ( A `  X )  =/=  Y
) )
2625necon2d 2601 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A `  X )  =  Y  ->  ( D `  F )  =/=  X
) )
271, 26mpd 15 1  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =/=  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   ` cfv 5395   NN0cn0 10154   Basecbs 13397   0gc0g 13651   Ringcrg 15588  Poly1cpl1 16499  coe1cco1 16502   deg1 cdg1 19845
This theorem is referenced by:  deg1sublt  19901
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-psr 16345  df-mpl 16347  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-ply1 16506  df-coe1 16509  df-cnfld 16628  df-mdeg 19846  df-deg1 19847
  Copyright terms: Public domain W3C validator