MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Structured version   Unicode version

Theorem deg1le0 20065
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1le0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1le0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1le0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1le0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1le0.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 20034 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 6760 . . . 4  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  1o  e.  On )
6 simpl 445 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
7 deg1le0.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 eqid 2442 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
9 deg1le0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
107, 8, 9ply1bas 16624 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1le0.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
127, 11ply1ascl 16682 . . 3  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
13 simpr 449 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  B )
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 20031 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15 0nn0 10267 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
16 eqid 2442 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
1716coe1fv 16635 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1813, 15, 17sylancl 645 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1918fveq2d 5761 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) )  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) )
2019eqeq2d 2453 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) ` 
0 ) )  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
2114, 20bitr4d 249 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1727   {csn 3838   class class class wbr 4237   Oncon0 4610    X. cxp 4905   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   1oc1o 6746   0cc0 9021    <_ cle 9152   NN0cn0 10252   Basecbs 13500   Ringcrg 15691  algSccascl 16402   mPoly cmpl 16439  PwSer1cps1 16600  Poly1cpl1 16602  coe1cco1 16605   deg1 cdg1 20008
This theorem is referenced by:  deg1sclle  20066  ply1rem  20117  fta1g  20121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-inf2 7625  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099  ax-addf 9100  ax-mulf 9101
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-se 4571  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-isom 5492  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6334  df-ofr 6335  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-map 7049  df-pm 7050  df-ixp 7093  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-oi 7508  df-card 7857  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-fz 11075  df-fzo 11167  df-seq 11355  df-hash 11650  df-struct 13502  df-ndx 13503  df-slot 13504  df-base 13505  df-sets 13506  df-ress 13507  df-plusg 13573  df-mulr 13574  df-starv 13575  df-sca 13576  df-vsca 13577  df-tset 13579  df-ple 13580  df-ds 13582  df-unif 13583  df-0g 13758  df-gsum 13759  df-mre 13842  df-mrc 13843  df-acs 13845  df-mnd 14721  df-mhm 14769  df-submnd 14770  df-grp 14843  df-minusg 14844  df-mulg 14846  df-subg 14972  df-ghm 15035  df-cntz 15147  df-cmn 15445  df-abl 15446  df-mgp 15680  df-rng 15694  df-cring 15695  df-ur 15696  df-subrg 15897  df-ascl 16405  df-psr 16448  df-mpl 16450  df-opsr 16456  df-psr1 16607  df-ply1 16609  df-coe1 16612  df-cnfld 16735  df-mdeg 20009  df-deg1 20010
  Copyright terms: Public domain W3C validator