MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Unicode version

Theorem deg1le0 19995
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1le0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1le0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1le0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1le0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2412 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1le0.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 19964 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 6698 . . . 4  |-  1o  e.  On
54a1i 11 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  1o  e.  On )
6 simpl 444 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
7 deg1le0.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 eqid 2412 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
9 deg1le0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
107, 8, 9ply1bas 16556 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1le0.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
127, 11ply1ascl 16614 . . 3  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
13 simpr 448 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  B )
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 19961 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15 0nn0 10200 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
16 eqid 2412 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
1716coe1fv 16567 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1813, 15, 17sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1918fveq2d 5699 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) )  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) )
2019eqeq2d 2423 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) ` 
0 ) )  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
2114, 20bitr4d 248 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   {csn 3782   class class class wbr 4180   Oncon0 4549    X. cxp 4843   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1oc1o 6684   0cc0 8954    <_ cle 9085   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   Ringcrg 15623  algSccascl 16334   mPoly cmpl 16371  PwSer1cps1 16532  Poly1cpl1 16534  coe1cco1 16537   deg1 cdg1 19938
This theorem is referenced by:  deg1sclle  19996  ply1rem  20047  fta1g  20051
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-subrg 15829  df-ascl 16337  df-psr 16380  df-mpl 16382  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-ply1 16541  df-coe1 16544  df-cnfld 16667  df-mdeg 19939  df-deg1 19940
  Copyright terms: Public domain W3C validator