MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1le0 Unicode version

Theorem deg1le0 19601
Description: A polynomial has nonpositive degree iff it is a constant. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1le0.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1le0.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1le0.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1le0.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1le0  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )

Proof of Theorem deg1le0
StepHypRef Expression
1 eqid 2358 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
2 deg1le0.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
32deg1fval 19570 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
4 1on 6573 . . . 4  |-  1o  e.  On
54a1i 10 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  1o  e.  On )
6 simpl 443 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
7 deg1le0.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
8 eqid 2358 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
9 deg1le0.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
107, 8, 9ply1bas 16373 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
11 deg1le0.a . . . 4  |-  A  =  (algSc `  P )
127, 11ply1ascl 16434 . . 3  |-  A  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
13 simpr 447 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  F  e.  B )
141, 3, 5, 6, 10, 12, 13mdegle0 19567 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
15 0nn0 10072 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
16 eqid 2358 . . . . . 6  |-  (coe1 `  F
)  =  (coe1 `  F
)
1716coe1fv 16386 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( (coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1813, 15, 17sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
(coe1 `  F ) ` 
0 )  =  ( F `  ( 1o 
X.  { 0 } ) ) )
1918fveq2d 5612 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) )  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) )
2019eqeq2d 2369 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  ( F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) ` 
0 ) )  <->  F  =  ( A `  ( F `
 ( 1o  X.  { 0 } ) ) ) ) )
2114, 20bitr4d 247 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B )  ->  (
( D `  F
)  <_  0  <->  F  =  ( A `  ( (coe1 `  F ) `  0
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   {csn 3716   class class class wbr 4104   Oncon0 4474    X. cxp 4769   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   1oc1o 6559   0cc0 8827    <_ cle 8958   NN0cn0 10057   Basecbs 13245   Ringcrg 15436  algSccascl 16151   mPoly cmpl 16188  PwSer1cps1 16349  Poly1cpl1 16351  coe1cco1 16354   deg1 cdg1 19544
This theorem is referenced by:  deg1sclle  19602  ply1rem  19653  fta1g  19657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905  ax-addf 8906  ax-mulf 8907
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-of 6165  df-ofr 6166  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-pm 6863  df-ixp 6906  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-oi 7315  df-card 7662  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-fz 10875  df-fzo 10963  df-seq 11139  df-hash 11431  df-struct 13247  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-ress 13252  df-plusg 13318  df-mulr 13319  df-starv 13320  df-sca 13321  df-vsca 13322  df-tset 13324  df-ple 13325  df-ds 13327  df-unif 13328  df-0g 13503  df-gsum 13504  df-mre 13587  df-mrc 13588  df-acs 13590  df-mnd 14466  df-mhm 14514  df-submnd 14515  df-grp 14588  df-minusg 14589  df-mulg 14591  df-subg 14717  df-ghm 14780  df-cntz 14892  df-cmn 15190  df-abl 15191  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-cring 15440  df-ur 15441  df-subrg 15642  df-ascl 16154  df-psr 16197  df-mpl 16199  df-opsr 16205  df-psr1 16356  df-ply1 16358  df-coe1 16361  df-cnfld 16483  df-mdeg 19545  df-deg1 19546
  Copyright terms: Public domain W3C validator