MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Structured version   Unicode version

Theorem deg1leb 20018
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1leb  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .0.
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    P( x)    R( x)    F( x)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables  y 
b  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 20003 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2436 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 16593 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 16583 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 19984 . . 3  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  b ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 19987 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. y  e.  ( NN0 
^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
12 df1o2 6736 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
13 nn0ex 10227 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
15 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 7061 . . . 4  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
17 f1ofo 5681 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
18 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  <->  G  <  x ) )
19 fveq2 5728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  x ) )
2019eqeq1d 2444 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  <->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
2118, 20imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2221cbvfo 6022 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  ->  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2316, 17, 22mp2b 10 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
24 fveq1 5727 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
b `  (/) )  =  ( y `  (/) ) )
25 fvex 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 (/) )  e.  _V
2624, 15, 25fvmpt 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  ( y `  (/) ) )
2726fveq2d 5732 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  ( A `  (
y `  (/) ) ) )
2827adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
3029fvcoe1 16605 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A `
 ( y `  (/) ) ) )
3130adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( F `  y )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
3228, 31eqtr4d 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  .0.  <->  ( F `  y )  =  .0.  ) )
3433imbi2d 308 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( F `  y )  =  .0.  ) ) )
3534ralbidva 2721 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  < 
( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3623, 35syl5bbr 251 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3711, 36bitr4d 248 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -onto->wfo 5452   -1-1-onto->wf1o 5453   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   1oc1o 6717    ^m cmap 7018   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   0gc0g 13723   mPoly cmpl 16408  PwSer1cps1 16569  Poly1cpl1 16571  coe1cco1 16574   deg1 cdg1 19977
This theorem is referenced by:  deg1lt  20020  deg1tmle  20040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-psr 16417  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-mdeg 19978  df-deg1 19979
  Copyright terms: Public domain W3C validator