MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1leb Unicode version

Theorem deg1leb 19481
Description: Property of being of limited degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1leb  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x,  .0.
Allowed substitution hints:    B( x)    D( x)    P( x)    R( x)    F( x)

Proof of Theorem deg1leb
Dummy variables  y 
b  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 deg1leb.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 19466 . . 3  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1leb.p . . . 4  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 eqid 2283 . . . 4  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
6 deg1leb.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  P
)
74, 5, 6ply1bas 16274 . . 3  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
8 deg1leb.y . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
9 psr1baslem 16264 . . 3  |-  ( NN0 
^m  1o )  =  { a  e.  ( NN0  ^m  1o )  |  ( `' a
" NN )  e. 
Fin }
10 tdeglem2 19447 . . 3  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  (fld 
gsumg  b ) )
112, 3, 7, 8, 9, 10mdegleb 19450 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. y  e.  ( NN0 
^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
12 df1o2 6491 . . . . 5  |-  1o  =  { (/) }
13 nn0ex 9971 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
14 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
15 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
1612, 13, 14, 15mapsnf1o2 6815 . . . 4  |-  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-1-1-onto-> NN0
17 f1ofo 5479 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -1-1-onto-> NN0  ->  ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o )
-onto->
NN0 )
18 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  <->  G  <  x ) )
19 fveq2 5525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  x ) )
2019eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  <->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
2118, 20imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  x  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2221cbvfo 5799 . . . 4  |-  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( NN0  ^m  1o ) -onto-> NN0  ->  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
2316, 17, 22mp2b 9 . . 3  |-  ( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  A. x  e.  NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
24 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
b `  (/) )  =  ( y `  (/) ) )
25 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( y `
 (/) )  e.  _V
2624, 15, 25fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( ( b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  =  ( y `  (/) ) )
2726fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( NN0  ^m  1o )  ->  ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  ( A `  (
y `  (/) ) ) )
2827adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
29 deg1leb.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  (coe1 `  F )
3029fvcoe1 16288 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  B  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( A `
 ( y `  (/) ) ) )
3130adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( F `  y )  =  ( A `  ( y `
 (/) ) ) )
3228, 31eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  ( F `  y ) )
3332eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( A `
 ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y ) )  =  .0.  <->  ( F `  y )  =  .0.  ) )
3433imbi2d 307 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  /\  y  e.  ( NN0  ^m  1o ) )  ->  ( ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) `  y )  ->  ( A `  ( (
b  e.  ( NN0 
^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `
 y ) )  =  .0.  )  <->  ( G  <  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( F `  y )  =  .0.  ) ) )
3534ralbidva 2559 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  < 
( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
)  ->  ( A `  ( ( b  e.  ( NN0  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) `  y
) )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3623, 35syl5bbr 250 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( A. x  e. 
NN0  ( G  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  )  <->  A. y  e.  ( NN0  ^m  1o ) ( G  <  (
( b  e.  ( NN0  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) `
 y )  -> 
( F `  y
)  =  .0.  )
) )
3711, 36bitr4d 247 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  RR* )  -> 
( ( D `  F )  <_  G  <->  A. x  e.  NN0  ( G  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   0gc0g 13400   mPoly cmpl 16089  PwSer1cps1 16250  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440
This theorem is referenced by:  deg1lt  19483  deg1tmle  19503
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-psr 16098  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442
  Copyright terms: Public domain W3C validator