MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1lt Structured version   Unicode version

Theorem deg1lt 20020
Description: If the degree of a univariate polynomial is less than some index, then that coefficient must be zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1leb.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1leb.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1leb.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1leb.y  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
deg1leb.a  |-  A  =  (coe1 `  F )
Assertion
Ref Expression
deg1lt  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( A `  G )  =  .0.  )

Proof of Theorem deg1lt
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( D `  F )  <  G )
2 simp2 958 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  G  e.  NN0 )
3 deg1leb.d . . . . . . 7  |-  D  =  ( deg1  `  R )
4 deg1leb.p . . . . . . 7  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 deg1leb.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  P
)
63, 4, 5deg1xrcl 20005 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
763ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( D `  F )  e.  RR* )
8 xrleid 10743 . . . . 5  |-  ( ( D `  F )  e.  RR*  ->  ( D `
 F )  <_ 
( D `  F
) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( D `  F )  <_  ( D `  F
) )
10 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  F  e.  B )
11 deg1leb.y . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
12 deg1leb.a . . . . . 6  |-  A  =  (coe1 `  F )
133, 4, 5, 11, 12deg1leb 20018 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  ( D `  F )  e.  RR* )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( D `
 F )  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
1410, 7, 13syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  (
( D `  F
)  <_  ( D `  F )  <->  A. x  e.  NN0  ( ( D `
 F )  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) ) )
159, 14mpbid 202 . . 3  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  A. x  e.  NN0  ( ( D `
 F )  < 
x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )
16 breq2 4216 . . . . 5  |-  ( x  =  G  ->  (
( D `  F
)  <  x  <->  ( D `  F )  <  G
) )
17 fveq2 5728 . . . . . 6  |-  ( x  =  G  ->  ( A `  x )  =  ( A `  G ) )
1817eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( x  =  G  ->  (
( A `  x
)  =  .0.  <->  ( A `  G )  =  .0.  ) )
1916, 18imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  G  ->  (
( ( D `  F )  <  x  ->  ( A `  x
)  =  .0.  )  <->  ( ( D `  F
)  <  G  ->  ( A `  G )  =  .0.  ) ) )
2019rspcva 3050 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN0  /\  A. x  e.  NN0  (
( D `  F
)  <  x  ->  ( A `  x )  =  .0.  ) )  ->  ( ( D `
 F )  < 
G  ->  ( A `  G )  =  .0.  ) )
212, 15, 20syl2anc 643 . 2  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  (
( D `  F
)  <  G  ->  ( A `  G )  =  .0.  ) )
221, 21mpd 15 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  NN0  /\  ( D `  F )  <  G )  ->  ( A `  G )  =  .0.  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   class class class wbr 4212   ` cfv 5454   RR*cxr 9119    < clt 9120    <_ cle 9121   NN0cn0 10221   Basecbs 13469   0gc0g 13723  Poly1cpl1 16571  coe1cco1 16574   deg1 cdg1 19977
This theorem is referenced by:  deg1ge  20021  coe1mul3  20022  deg1add  20026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-cring 15664  df-ur 15665  df-psr 16417  df-mpl 16419  df-opsr 16425  df-psr1 16576  df-ply1 16578  df-coe1 16581  df-cnfld 16704  df-mdeg 19978  df-deg1 19979
  Copyright terms: Public domain W3C validator