MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Unicode version

Theorem deg1mul3 19501
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a non-zero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1mul3.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1mul3.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
deg1mul3.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1mul3.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
deg1mul3.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1mul3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2rrgss 16033 . . . . . . . 8  |-  E  C_  ( Base `  R )
43sseli 3176 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
5 deg1mul3.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 deg1mul3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 deg1mul3.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (algSc `  P )
8 deg1mul3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  P )
9 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 16358 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  R
)  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
114, 10syl3an2 1216 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
1211cnveqd 4857 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G
) ) )
1312imaeq1d 5011 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
14 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
15 nn0ex 9971 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
1615a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
17 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
18 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  E )
19 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
2019, 6, 5, 2coe1f 16292 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
21203ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
221, 2, 9, 14, 16, 17, 18, 21rrgsupp 16032 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' ( ( NN0 
X.  { F }
)  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
2313, 22eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
2423supeq1d 7199 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  ) )
255ply1rng 16326 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
26253ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
275, 7, 2, 6ply1sclf 16361 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  A :
( Base `  R ) --> B )
28273ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  A : ( Base `  R
) --> B )
2943ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
30 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( ( A : ( Base `  R ) --> B  /\  F  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( A `  F
)  e.  B )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( A `  F )  e.  B )
32 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
336, 8rngcl 15354 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( A `  F )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
3426, 31, 32, 33syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
35 deg1mul3.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
36 eqid 2283 . . . 4  |-  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)  =  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)
3735, 5, 6, 14, 36deg1val 19482 . . 3  |-  ( ( ( A `  F
)  .x.  G )  e.  B  ->  ( D `
 ( ( A `
 F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3834, 37syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3935, 5, 6, 14, 19deg1val 19482 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
40393ad2ant3 978 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
4124, 38, 403eqtr4d 2325 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   supcsup 7193   RR*cxr 8866    < clt 8867   NN0cn0 9965   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400   Ringcrg 15337  RLRegcrlreg 16020  algSccascl 16052  Poly1cpl1 16252  coe1cco1 16255   deg1 cdg1 19440
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  19537  ig1peu  19557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-rlreg 16024  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-mdeg 19441  df-deg1 19442
  Copyright terms: Public domain W3C validator