MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Unicode version

Theorem deg1mul3 19716
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a non-zero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1mul3.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1mul3.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
deg1mul3.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1mul3.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
deg1mul3.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1mul3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 eqid 2366 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2rrgss 16243 . . . . . . . 8  |-  E  C_  ( Base `  R )
43sseli 3262 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
5 deg1mul3.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 deg1mul3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 deg1mul3.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (algSc `  P )
8 deg1mul3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  P )
9 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 16568 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  R
)  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
114, 10syl3an2 1217 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
1211cnveqd 4960 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G
) ) )
1312imaeq1d 5114 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
14 eqid 2366 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
15 nn0ex 10120 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
1615a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
17 simp1 956 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
18 simp2 957 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  E )
19 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
2019, 6, 5, 2coe1f 16502 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
21203ad2ant3 979 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
221, 2, 9, 14, 16, 17, 18, 21rrgsupp 16242 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' ( ( NN0 
X.  { F }
)  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
2313, 22eqtrd 2398 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
2423supeq1d 7346 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  ) )
255ply1rng 16536 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
26253ad2ant1 977 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
275, 7, 2, 6ply1sclf 16571 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  A :
( Base `  R ) --> B )
28273ad2ant1 977 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  A : ( Base `  R
) --> B )
2943ad2ant2 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
30 ffvelrn 5770 . . . . 5  |-  ( ( A : ( Base `  R ) --> B  /\  F  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( A `  F
)  e.  B )
3128, 29, 30syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( A `  F )  e.  B )
32 simp3 958 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
336, 8rngcl 15564 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( A `  F )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
3426, 31, 32, 33syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
35 deg1mul3.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
36 eqid 2366 . . . 4  |-  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)  =  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)
3735, 5, 6, 14, 36deg1val 19697 . . 3  |-  ( ( ( A `  F
)  .x.  G )  e.  B  ->  ( D `
 ( ( A `
 F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3834, 37syl 15 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3935, 5, 6, 14, 19deg1val 19697 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
40393ad2ant3 979 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
4124, 38, 403eqtr4d 2408 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   _Vcvv 2873    \ cdif 3235   {csn 3729    X. cxp 4790   `'ccnv 4791   "cima 4795   -->wf 5354   ` cfv 5358  (class class class)co 5981    o Fcof 6203   supcsup 7340   RR*cxr 9013    < clt 9014   NN0cn0 10114   Basecbs 13356   .rcmulr 13417   0gc0g 13610   Ringcrg 15547  RLRegcrlreg 16230  algSccascl 16262  Poly1cpl1 16462  coe1cco1 16465   deg1 cdg1 19655
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  19752  ig1peu  19772
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-ofr 6206  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-mhm 14625  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-mulg 14702  df-subg 14828  df-ghm 14891  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-subrg 15753  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-rlreg 16234  df-ascl 16265  df-psr 16308  df-mvr 16309  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-vr1 16468  df-ply1 16469  df-coe1 16472  df-cnfld 16594  df-mdeg 19656  df-deg1 19657
  Copyright terms: Public domain W3C validator