MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Structured version   Unicode version

Theorem deg1mul3 20043
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a non-zero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1mul3.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1mul3.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
deg1mul3.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1mul3.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
deg1mul3.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1mul3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2rrgss 16357 . . . . . . . 8  |-  E  C_  ( Base `  R )
43sseli 3346 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
5 deg1mul3.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 deg1mul3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 deg1mul3.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (algSc `  P )
8 deg1mul3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  P )
9 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 16679 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  R
)  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
114, 10syl3an2 1219 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
1211cnveqd 5051 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G
) ) )
1312imaeq1d 5205 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
14 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
15 nn0ex 10232 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
17 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
18 simp2 959 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  E )
19 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
2019, 6, 5, 2coe1f 16614 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
21203ad2ant3 981 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
221, 2, 9, 14, 16, 17, 18, 21rrgsupp 16356 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' ( ( NN0 
X.  { F }
)  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
2313, 22eqtrd 2470 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
2423supeq1d 7454 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  ) )
255ply1rng 16647 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
26253ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
275, 7, 2, 6ply1sclf 16682 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  A :
( Base `  R ) --> B )
28273ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  A : ( Base `  R
) --> B )
2943ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
3028, 29ffvelrnd 5874 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( A `  F )  e.  B )
31 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
326, 8rngcl 15682 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( A `  F )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
3326, 30, 31, 32syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
34 deg1mul3.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
35 eqid 2438 . . . 4  |-  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)  =  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)
3634, 5, 6, 14, 35deg1val 20024 . . 3  |-  ( ( ( A `  F
)  .x.  G )  e.  B  ->  ( D `
 ( ( A `
 F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3733, 36syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3834, 5, 6, 14, 19deg1val 20024 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
39383ad2ant3 981 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
4024, 37, 393eqtr4d 2480 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816    X. cxp 4879   `'ccnv 4880   "cima 4884   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306   supcsup 7448   RR*cxr 9124    < clt 9125   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   .rcmulr 13535   0gc0g 13728   Ringcrg 15665  RLRegcrlreg 16344  algSccascl 16376  Poly1cpl1 16576  coe1cco1 16579   deg1 cdg1 19982
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  20079  ig1peu  20099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-ofr 6309  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mre 13816  df-mrc 13817  df-acs 13819  df-mnd 14695  df-mhm 14743  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-mulg 14820  df-subg 14946  df-ghm 15009  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-subrg 15871  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-rlreg 16348  df-ascl 16379  df-psr 16422  df-mvr 16423  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-vr1 16582  df-ply1 16583  df-coe1 16586  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984
  Copyright terms: Public domain W3C validator