MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1mul3 Unicode version

Theorem deg1mul3 19999
Description: Degree of multiplication of a polynomial on the left by a non-zero-dividing scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1mul3.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1mul3.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1mul3.e  |-  E  =  (RLReg `  R )
deg1mul3.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
deg1mul3.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
deg1mul3.a  |-  A  =  (algSc `  P )
Assertion
Ref Expression
deg1mul3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )

Proof of Theorem deg1mul3
StepHypRef Expression
1 deg1mul3.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  (RLReg `  R )
2 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31, 2rrgss 16315 . . . . . . . 8  |-  E  C_  ( Base `  R )
43sseli 3312 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  E  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
5 deg1mul3.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
6 deg1mul3.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  P
)
7 deg1mul3.a . . . . . . . 8  |-  A  =  (algSc `  P )
8 deg1mul3.t . . . . . . . 8  |-  .x.  =  ( .r `  P )
9 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
105, 6, 2, 7, 8, 9coe1sclmul 16637 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  ( Base `  R
)  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
114, 10syl3an2 1218 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) ) )
1211cnveqd 5015 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) )  =  `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G
) ) )
1312imaeq1d 5169 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' ( ( NN0  X.  { F } )  o F ( .r `  R
) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
14 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
15 nn0ex 10191 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
1615a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  NN0  e.  _V )
17 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  R  e.  Ring )
18 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  E )
19 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  (coe1 `  G
)  =  (coe1 `  G
)
2019, 6, 5, 2coe1f 16572 . . . . . 6  |-  ( G  e.  B  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
21203ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (coe1 `  G ) : NN0 --> (
Base `  R )
)
221, 2, 9, 14, 16, 17, 18, 21rrgsupp 16314 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' ( ( NN0 
X.  { F }
)  o F ( .r `  R ) (coe1 `  G ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
2313, 22eqtrd 2444 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  =  ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) )
2423supeq1d 7417 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `  F )  .x.  G
) ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) " ( _V  \  { ( 0g
`  R ) } ) ) ,  RR* ,  <  ) )
255ply1rng 16605 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
26253ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  P  e.  Ring )
275, 7, 2, 6ply1sclf 16640 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  A :
( Base `  R ) --> B )
28273ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  A : ( Base `  R
) --> B )
2943ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  F  e.  ( Base `  R
) )
3028, 29ffvelrnd 5838 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( A `  F )  e.  B )
31 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  G  e.  B )
326, 8rngcl 15640 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( A `  F )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
3326, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  (
( A `  F
)  .x.  G )  e.  B )
34 deg1mul3.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
35 eqid 2412 . . . 4  |-  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)  =  (coe1 `  (
( A `  F
)  .x.  G )
)
3634, 5, 6, 14, 35deg1val 19980 . . 3  |-  ( ( ( A `  F
)  .x.  G )  e.  B  ->  ( D `
 ( ( A `
 F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3733, 36syl 16 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  sup ( ( `' (coe1 `  ( ( A `
 F )  .x.  G ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
3834, 5, 6, 14, 19deg1val 19980 . . 3  |-  ( G  e.  B  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
39383ad2ant3 980 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  G )  =  sup ( ( `' (coe1 `  G ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) ) ,  RR* ,  <  )
)
4024, 37, 393eqtr4d 2454 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  E  /\  G  e.  B )  ->  ( D `  ( ( A `  F )  .x.  G ) )  =  ( D `  G
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    \ cdif 3285   {csn 3782    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   "cima 4848   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270   supcsup 7411   RR*cxr 9083    < clt 9084   NN0cn0 10185   Basecbs 13432   .rcmulr 13493   0gc0g 13686   Ringcrg 15623  RLRegcrlreg 16302  algSccascl 16334  Poly1cpl1 16534  coe1cco1 16537   deg1 cdg1 19938
This theorem is referenced by:  uc1pmon1p  20035  ig1peu  20055
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-rlreg 16306  df-ascl 16337  df-psr 16380  df-mvr 16381  df-mpl 16382  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-vr1 16540  df-ply1 16541  df-coe1 16544  df-cnfld 16667  df-mdeg 19939  df-deg1 19940
  Copyright terms: Public domain W3C validator