Theorem deg1nn0cl 20016

Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
deg1z.d	|- D = ( deg1 ` R )
deg1z.p	|- P = (Poly1 ` R )
deg1z.z	|- .0. = ( 0g ` P )
deg1nn0cl.b	|- B = ( Base ` P )

Assertion

Ref	Expression
deg1nn0cl	|- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ F =/= .0. ) -> ( D ` F ) e. NN0 )

Proof of Theorem deg1nn0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		deg1z.d	. . 3 |- D = ( deg1 ` R )
2	1	deg1fval 20008	. 2 |- D = ( 1o mDeg R )
3		eqid 2438	. 2 |- ( 1o mPoly R ) = ( 1o mPoly R )
4		deg1z.p	. . 3 |- P = (Poly1 ` R )
5		deg1z.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` P )
6	3, 4, 5	ply1mpl0 16654	. 2 |- .0. = ( 0g ` ( 1o mPoly R ) )
7		eqid 2438	. . 3 |- (PwSer1 ` R ) = (PwSer1 ` R )
8		deg1nn0cl.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
9	4, 7, 8	ply1bas 16598	. 2 |- B = ( Base ` ( 1o mPoly R ) )
10	2, 3, 6, 9	mdegnn0cl 19999	1 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ F =/= .0. ) -> ( D ` F ) e. NN0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 937   = wceq 1653   e. wcel 1726   =/= wne 2601   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   NN0cn0 10226   Basecbs 13474   0gc0g 13728   Ringcrg 15665   mPoly cmpl 16413  PwSer₁cps1 16574  Poly₁cpl1 16576   deg₁ cdg1 19982

This theorem is referenced by:  deg1n0ima  20017  deg1nn0clb  20018  deg1lt0  20019  deg1ldg  20020  deg1ldgdomn  20022  coe1mul4  20028  deg1add  20031  deg1scl  20041  deg1mul2  20042  ply1domn  20051  ply1divmo  20063  ply1divex  20064  uc1pdeg  20075  deg1submon1p  20080  fta1glem1  20093  fta1g  20095  drnguc1p  20098  mon1psubm  27516  deg1mhm  27517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-addf 9074  ax-mulf 9075

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-4 10065  df-5 10066  df-6 10067  df-7 10068  df-8 10069  df-9 10070  df-10 10071  df-n0 10227  df-z 10288  df-dec 10388  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-struct 13476  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-mulr 13548  df-starv 13549  df-sca 13550  df-vsca 13551  df-tset 13553  df-ple 13554  df-ds 13556  df-unif 13557  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-subg 14946  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-cring 15669  df-ur 15670  df-psr 16422  df-mpl 16424  df-opsr 16430  df-psr1 16581  df-ply1 16583  df-cnfld 16709  df-mdeg 19983  df-deg1 19984