MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1nn0cl Unicode version

Theorem deg1nn0cl 19689
Description: Degree of a nonzero univariate polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1z.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1z.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1z.z  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
deg1nn0cl.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
Assertion
Ref Expression
deg1nn0cl  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )

Proof of Theorem deg1nn0cl
StepHypRef Expression
1 deg1z.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
21deg1fval 19681 . 2  |-  D  =  ( 1o mDeg  R )
3 eqid 2366 . 2  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
4 deg1z.p . . 3  |-  P  =  (Poly1 `  R )
5 deg1z.z . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  P )
63, 4, 5ply1mpl0 16543 . 2  |-  .0.  =  ( 0g `  ( 1o mPoly  R ) )
7 eqid 2366 . . 3  |-  (PwSer1 `  R
)  =  (PwSer1 `  R
)
8 deg1nn0cl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
94, 7, 8ply1bas 16484 . 2  |-  B  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )
102, 3, 6, 9mdegnn0cl 19672 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  F  =/= 
.0.  )  ->  ( D `  F )  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715    =/= wne 2529   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   1oc1o 6614   NN0cn0 10114   Basecbs 13356   0gc0g 13610   Ringcrg 15547   mPoly cmpl 16299  PwSer1cps1 16460  Poly1cpl1 16462   deg1 cdg1 19655
This theorem is referenced by:  deg1n0ima  19690  deg1nn0clb  19691  deg1lt0  19692  deg1ldg  19693  deg1ldgdomn  19695  coe1mul4  19701  deg1add  19704  deg1scl  19714  deg1mul2  19715  ply1domn  19724  ply1divmo  19736  ply1divex  19737  uc1pdeg  19748  deg1submon1p  19753  fta1glem1  19766  fta1g  19768  drnguc1p  19771  mon1psubm  27116  deg1mhm  27117
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-addf 8963  ax-mulf 8964
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-seq 11211  df-hash 11506  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-subg 14828  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-abl 15302  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-cring 15551  df-ur 15552  df-psr 16308  df-mpl 16310  df-opsr 16316  df-psr1 16467  df-ply1 16469  df-cnfld 16594  df-mdeg 19656  df-deg1 19657
  Copyright terms: Public domain W3C validator