MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1pw Unicode version

Theorem deg1pw 19911
Description: Exact degree of a variable power over a nontrivial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1pw.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1pw.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
deg1pw.x  |-  X  =  (var1 `  R )
deg1pw.n  |-  N  =  (mulGrp `  P )
deg1pw.e  |-  .^  =  (.g
`  N )
Assertion
Ref Expression
deg1pw  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( F  .^  X ) )  =  F )

Proof of Theorem deg1pw
StepHypRef Expression
1 deg1pw.p . . . . . . . 8  |-  P  =  (Poly1 `  R )
21ply1sca 16575 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  =  (Scalar `  P ) )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  R  =  (Scalar `  P )
)
43fveq2d 5673 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( 1r `  R )  =  ( 1r `  (Scalar `  P ) ) )
54oveq1d 6036 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  P ) ( F 
.^  X ) )  =  ( ( 1r
`  (Scalar `  P )
) ( .s `  P ) ( F 
.^  X ) ) )
6 nzrrng 16260 . . . . . . 7  |-  ( R  e. NzRing  ->  R  e.  Ring )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  R  e.  Ring )
81ply1lmod 16574 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
LMod )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  P  e.  LMod )
101ply1rng 16570 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
11 deg1pw.n . . . . . . . 8  |-  N  =  (mulGrp `  P )
1211rngmgp 15598 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Ring  ->  N  e. 
Mnd )
137, 10, 123syl 19 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  N  e.  Mnd )
14 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  F  e.  NN0 )
15 deg1pw.x . . . . . . . 8  |-  X  =  (var1 `  R )
16 eqid 2388 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  P )
1715, 1, 16vr1cl 16539 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
187, 17syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  X  e.  ( Base `  P
) )
1911, 16mgpbas 15582 . . . . . . 7  |-  ( Base `  P )  =  (
Base `  N )
20 deg1pw.e . . . . . . 7  |-  .^  =  (.g
`  N )
2119, 20mulgnn0cl 14834 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Mnd  /\  F  e.  NN0  /\  X  e.  ( Base `  P
) )  ->  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
2213, 14, 18, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )
23 eqid 2388 . . . . . 6  |-  (Scalar `  P )  =  (Scalar `  P )
24 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( .s
`  P )  =  ( .s `  P
)
25 eqid 2388 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  P )
)
2616, 23, 24, 25lmodvs1 15906 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  LMod  /\  ( F  .^  X )  e.  ( Base `  P
) )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) )  =  ( F  .^  X )
)
279, 22, 26syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  P ) ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) )  =  ( F  .^  X )
)
285, 27eqtrd 2420 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  (
( 1r `  R
) ( .s `  P ) ( F 
.^  X ) )  =  ( F  .^  X ) )
2928fveq2d 5673 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  R ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) ) )  =  ( D `  ( F  .^  X ) ) )
30 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
31 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
3230, 31rngidcl 15612 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( 1r
`  R )  e.  ( Base `  R
) )
337, 32syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( 1r `  R )  e.  ( Base `  R
) )
34 eqid 2388 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3531, 34nzrnz 16259 . . . 4  |-  ( R  e. NzRing  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R ) )
3635adantr 452 . . 3  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )
37 deg1pw.d . . . 4  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3837, 30, 1, 15, 24, 11, 20, 34deg1tm 19909 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( 1r `  R
)  e.  ( Base `  R )  /\  ( 1r `  R )  =/=  ( 0g `  R
) )  /\  F  e.  NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  R ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) ) )  =  F )
397, 33, 36, 14, 38syl121anc 1189 . 2  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( ( 1r `  R ) ( .s `  P ) ( F  .^  X
) ) )  =  F )
4029, 39eqtr3d 2422 1  |-  ( ( R  e. NzRing  /\  F  e. 
NN0 )  ->  ( D `  ( F  .^  X ) )  =  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2551   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   NN0cn0 10154   Basecbs 13397  Scalarcsca 13460   .scvsca 13461   0gc0g 13651   Mndcmnd 14612  .gcmg 14617  mulGrpcmgp 15576   Ringcrg 15588   1rcur 15590   LModclmod 15878  NzRingcnzr 16256  var1cv1 16498  Poly1cpl1 16499   deg1 cdg1 19845
This theorem is referenced by:  ply1remlem  19953  lgsqrlem4  20996  idomrootle  27181
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-ofr 6246  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-seq 11252  df-hash 11547  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-mhm 14666  df-submnd 14667  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-mulg 14743  df-subg 14869  df-ghm 14932  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-abl 15343  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-cring 15592  df-ur 15593  df-subrg 15794  df-lmod 15880  df-lss 15937  df-nzr 16257  df-psr 16345  df-mvr 16346  df-mpl 16347  df-opsr 16353  df-psr1 16504  df-vr1 16505  df-ply1 16506  df-coe1 16509  df-cnfld 16628  df-mdeg 19846  df-deg1 19847
  Copyright terms: Public domain W3C validator