MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1sub Structured version   Unicode version

Theorem deg1sub 20033
Description: Exact degree of a difference of two polynomials of unequal degree. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1suble.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1suble.m  |-  .-  =  ( -g `  Y )
deg1suble.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1suble.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
deg1sub.l  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
Assertion
Ref Expression
deg1sub  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  F ) )

Proof of Theorem deg1sub
StepHypRef Expression
1 deg1suble.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
2 deg1suble.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
3 deg1suble.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  Y
)
4 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
5 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
6 deg1suble.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Y )
73, 4, 5, 6grpsubval 14850 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
81, 2, 7syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
98fveq2d 5734 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) ) )
10 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
11 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
12 deg1addle.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
1310ply1rng 16644 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
14 rnggrp 15671 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
1512, 13, 143syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
163, 5grpinvcl 14852 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  G  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  G
)  e.  B )
1715, 2, 16syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  G
)  e.  B )
1810, 11, 12, 3, 5, 2deg1invg 20031 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( inv g `  Y ) `  G
) )  =  ( D `  G ) )
19 deg1sub.l . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  <  ( D `  F ) )
2018, 19eqbrtrd 4234 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( inv g `  Y ) `  G
) )  <  ( D `  F )
)
2110, 11, 12, 3, 4, 1, 17, 20deg1add 20028 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )  =  ( D `
 F ) )
229, 21eqtrd 2470 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    < clt 9122   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   Grpcgrp 14687   inv gcminusg 14688   -gcsg 14690   Ringcrg 15662  Poly1cpl1 16573   deg1 cdg1 19979
This theorem is referenced by:  ply1remlem  20087  lgsqrlem4  21130  idomrootle  27490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-rlreg 16345  df-psr 16419  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-ply1 16580  df-coe1 16583  df-cnfld 16706  df-mdeg 19980  df-deg1 19981
  Copyright terms: Public domain W3C validator