MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  deg1suble Structured version   Unicode version

Theorem deg1suble 20031
Description: The degree of a difference of polynomials is bounded by the maximum of degrees. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
deg1addle.y  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
deg1addle.d  |-  D  =  ( deg1  `  R )
deg1addle.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
deg1suble.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
deg1suble.m  |-  .-  =  ( -g `  Y )
deg1suble.f  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
deg1suble.g  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
Assertion
Ref Expression
deg1suble  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )

Proof of Theorem deg1suble
StepHypRef Expression
1 deg1addle.y . . 3  |-  Y  =  (Poly1 `  R )
2 deg1addle.d . . 3  |-  D  =  ( deg1  `  R )
3 deg1addle.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
4 deg1suble.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  Y
)
5 eqid 2437 . . 3  |-  ( +g  `  Y )  =  ( +g  `  Y )
6 deg1suble.f . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  B )
71ply1rng 16643 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  Y  e. 
Ring )
8 rnggrp 15670 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
93, 7, 83syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  Grp )
10 deg1suble.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  B )
11 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( inv g `  Y )  =  ( inv g `  Y )
124, 11grpinvcl 14851 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  Grp  /\  G  e.  B )  ->  ( ( inv g `  Y ) `  G
)  e.  B )
139, 10, 12syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( inv g `  Y ) `  G
)  e.  B )
141, 2, 3, 4, 5, 6, 13deg1addle 20025 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )  <_  if (
( D `  F
)  <_  ( D `  ( ( inv g `  Y ) `  G
) ) ,  ( D `  ( ( inv g `  Y
) `  G )
) ,  ( D `
 F ) ) )
15 deg1suble.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Y )
164, 5, 11, 15grpsubval 14849 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
176, 10, 16syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  .-  G
)  =  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
1817fveq2d 5733 . 2  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  =  ( D `  ( F ( +g  `  Y
) ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) ) )
191, 2, 3, 4, 11, 10deg1invg 20030 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( D `  (
( inv g `  Y ) `  G
) )  =  ( D `  G ) )
2019eqcomd 2442 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D `  G
)  =  ( D `
 ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) )
2120breq2d 4225 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( D `  F )  <_  ( D `  G )  <->  ( D `  F )  <_  ( D `  ( ( inv g `  Y ) `  G
) ) ) )
22 eqidd 2438 . . 3  |-  ( ph  ->  ( D `  F
)  =  ( D `
 F ) )
2321, 20, 22ifbieq12d 3762 . 2  |-  ( ph  ->  if ( ( D `
 F )  <_ 
( D `  G
) ,  ( D `
 G ) ,  ( D `  F
) )  =  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  ( ( inv g `  Y ) `
 G ) ) ,  ( D `  ( ( inv g `  Y ) `  G
) ) ,  ( D `  F ) ) )
2414, 18, 233brtr4d 4243 1  |-  ( ph  ->  ( D `  ( F  .-  G ) )  <_  if ( ( D `  F )  <_  ( D `  G ) ,  ( D `  G ) ,  ( D `  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3740   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    <_ cle 9122   Basecbs 13470   +g cplusg 13530   Grpcgrp 14686   inv gcminusg 14687   -gcsg 14689   Ringcrg 15661  Poly1cpl1 16572   deg1 cdg1 19978
This theorem is referenced by:  deg1sublt  20034  ply1divmo  20059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-seq 11325  df-hash 11620  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-rlreg 16344  df-psr 16418  df-mpl 16420  df-opsr 16426  df-psr1 16577  df-ply1 16579  df-cnfld 16705  df-mdeg 19979  df-deg1 19980
  Copyright terms: Public domain W3C validator